Контрольная работа
«Графический и расчётный синтез сложной кривой по её амплитудному и фазовому спектру»
Введение
В данном задании мы познакомимся с простыми колебаниями (колебания гармоник), а также со сложными (суммирующая) колебаниями. Простое колебание (гаомоническое) графически выражается синусоидой. Синусоида, в свою очередь, является отражением движения по окружности. Характеризуется: периодом, частотой, амплитудой, начальной фазой.
Цель задания: ознакомление с двумя способами синтеза сложной кривой: графическим и цифровым. Графический и цифровой синтез сложного колебания по заданным значениям его гармоник (амплитуда, начальная фаза). В конечном итоге заданное периодическое колебание будет представлено в виде суммы его гармоник (также синусоидальных колебаний).
синтез графический цифровой колебание
Y(t)=Y1(t)+ Y2(t)+ … + Yk(t),
Где Y1(t), Y2(t), …, Yk(t) – величина отклонения колеблющейся частицы каждого простого колебания, из которых состоит сложное колебание (в момент времени t). Таким образом, можно синтезировать кривую сложного колебания графическим способом.
Но можно и математическим способом, с помощью теоремы Фурье:
Y(t)=Y1sin(ω1t+φ1)+ Y2sin(ω2t+φ2)+… + Yksin(ωkt+φk)
Где Y1, Y2, …, Yк соответствующие амплитуды гармоник
ω1, ω2, …, ωк – круговые частоты гармоник
φ1, φ2, …, φk – начальные фазы колебаний
Сложное переодическое колебание состоит из гармоник, частоты которых кратны частоте первой гармоники (основного тона). Высокие гармоники, начиная со второй, называются обертонами, которые не всегда могут являться гармониками, если период их колебаний не укладывается в периоде основного тона целое число раз.
В данной работе мы будем синтезировать кривую сложного колебания графическим способом. Чем меньше мы возьмем шаг отсчета во времени Δt, тем точнее мы сможем построить кривую.
1. Графический синтез сложной кривой
Даны параметры сложных колебаний, состоящих из трех гармоник:
1.1 Методика графического синтеза сложной кривой
Все гармоники необходимо строить учитывая их порядковый номер, так, как частота зависит от порядкового номера.
Методика графического синтеза сложной кривой заключается в построении графиков синтезируемых гармоник на миллиметровой бумаге, измерении длины отрезков в местах выборки, а после – нахождении суммы и начертании искомой кривой.
Таблица 1.
| K | 1 | 3 | 4 |
| Y1K | 50 | 40 | 30 |
| Y2K | 50 | 45 | 60 |
| φ1k | 0 | 90 | 180 |
| φ2k | 0 | 90 | 180 |
Где k – номер гармоники
Yk – амплитуда k – той точки
φk – начальная фаза k – той гармоники
1.2 Описание процедуры графического синтеза
Используя теорему Котельникова, говорящую о том, что всякую кривую можно представить в виде суммы кривых, т.е. дискретизировать в частотном пространстве, строим эти кривые.
По оси времени t через равные промежутки времени Δt отметим точки (шаг дискретизации). Возьмем шаг отсчета равный 1 см и в каждой точке измерим значения y(t) каждой из функций. Запишем их в таблицы 2 и 3.
На миллиметровой бумаге откладываем фазы колебаний и соответствующие им значения амплитуд. Соединяя полученные точки, вычерчиваем графики колебаний заданных гармоник.
Из получившихся графиков простых колебаний складывая алгебраически значения амплитуд в соответствующих фазах колебаний мы получаем результирующую кривую сложного колебания.
2. Цифровой синтез сложной кривой
2.1 Методика цифрового синтеза сложной кривой
Все гармоники необходимо строить учитывая их порядковый номер, так, как частота зависит от порядкового номера.
Методика графического синтеза сложной кривой заключается в построении графиков синтезируемых гармоник на миллиметровой бумаге, измерении длины отрезков в местах выборки, а после – нахождении суммы и начертании искомой кривой.
Процесс методики заключается в том, что:
Во-первых, нужно определить шаг дискретизации (на графике выраженный в сантиметрах), найти точки, в которых будет производиться выборка отдельно для каждой гармоники и перевести их координаты в градусы;
Во-вторых, рассчитать в этих точках значение каждой синусоиды по формуле:
YKι=YK·sin (ακι·ι+αι)
В-третьих, для получения результирующей кривой суммируем для каждой выборки численные значения всех составляющих.
Результаты заносим в таблицу.
2.2 Расчеты сложного колебания
Таблица 2.
| K | 1 | 3 | 4 | Σ |
| T | Y1k | Y1k | Y1k | |
| 0 | 0 | 40 | 0 | 40 |
| 1 | 7 | 34 | -5 | 36 |
| 2 | 12,5 | 19,5 | -10 | 22 |
| 3 | 19 | 15 | -15 | 19 |
| 4 | 30 | 10 | -21,5 | 18,5 |
| 5 | 36,5 | 5 | -26,5 | 15 |
| 6 | 43 | 0 | -30 | 13 |
| 7 | 48,5 | -5 | -26,5 | 12 |
| 8 | 50 | -10 | -21,5 | 18,5 |
| 9 | 48,5 | -15 | -15 | 18,5 |
| 10 | 43 | -19,5 | -10 | 13,5 |
| 11 | 36,5 | -34 | -5 | -2,5 |
| 12 | 30 | -40 | 0 | -10 |
| 13 | 19 | -34 | 5 | -10 |
| 14 | 12,5 | -19,5 | 10 | 3 |
| 15 | 7 | -15 | 15 | 7 |
| 16 | 0 | -10 | 21,5 | 11,5 |
| 17 | -7 | -5 | 26,5 | 14,5 |
| 18 | -12,5 | 0 | 30 | 17,5 |
| 19 | -19 | 5 | 26,5 | 2,5 |
| 20 | -30 | 10 | 21,5 | 1,5 |
| 21 | -36,5 | 15 | 15 | -6,5 |
| 22 | -43 | 19,5 | 10 | -13 |
| 23 | -48,5 | 34 | 5 | -9,5 |
| 24 | -50 | 40 | 0 | -10 |
| 25 | -48,5 | 34 | -5 | -19,5 |
| 26 | -43 | 19,5 | -10 | -33,5 |
| 27 | -36,5 | 15 | -15 | -36,5 |
| 28 | -30 | 10 | -21,5 | -41,5 |
| 29 | -19 | 5 | -26,5 | -40,5 |
| 30 | -12,5 | 0 | -30 | -42,5 |
| 31 | -7 | -5 | -26,5 | -38,5 |
| 32 | 0 | -10 | -21,5 | -31,5 |
| 33 | 7 | -15 | -15 | -23 |
| 34 | 12,5 | -19,5 | -10 | -17 |
| 35 | 19 | -34 | -5 | -20 |
| 36 | 30 | -40 | 0 | -10 |
| 37 | 36,5 | -34 | -5 | -2,5 |
| 38 | 43 | -19,5 | -10 | -13,5 |
| 39 | 48,5 | -15 | -15 | 18,5 |
| 40 | 50 | -10 | -21,5 | 18,5 |
| 41 | 48,5 | -5 | -26,5 | 17 |
| 42 | 43 | 0 | -30 | 13 |
| 43 | 36,5 | 5 | -26,5 | 15 |
| 44 | 30 | 10 | -21,5 | 18,5 |
| 45 | 19 | 15 | -15 | 19 |
| 46 | 12,5 | 19,5 | -10 | 22 |
| 47 | 7 | 34 | -5 | 36 |
| 48 | 0 | 40 | 0 | 40 |
Таблица 3.
| K | 1 | 3 | 4 | Σ |
| T | Y1k | Y1k | Y1k | |
| 0 | 0 | 45 | 0 | 45 |
| 1 | 7 | 39 | -43 | 3 |
| 2 | 12,5 | 19 | -60 | -28,5 |
| 3 | 19 | 0 | -43 | -24 |
| 4 | 30 | -19 | 0 | 11 |
| 5 | 36,5 | -39 | 43 | 40,5 |
| 6 | 43 | -45 | 60 | 58 |
| 7 | 48,5 | -39 | 43 | 52,5 |
| 8 | 50 | -19 | 0 | 31 |
| 9 | 48,5 | 0 | -43 | 5,5 |
| 10 | 43 | 19 | -60 | 2 |
| 11 | 36,5 | 39 | -43 | 32,5 |
| 12 | 30 | 45 | 0 | 75 |
| 13 | 19 | 39 | 43 | 101 |
| 14 | 12,5 | 19 | 60 | 91,5 |
| 15 | 7 | 0 | 43 | 50 |
| 16 | 0 | 19 | 0 | 19 |
| 17 | -7 | 39 | -43 | -11 |
| 18 | -12,5 | 45 | -60 | -27,5 |
| 19 | -19 | 39 | -43 | -23 |
| 20 | -30 | 19 | 0 | -11 |
| 21 | -36,5 | 0 | 43 | 6,5 |
| 22 | -43 | -19 | 60 | -2 |
| 23 | -48,5 | -39 | 43 | 44,5 |
| 24 | -50 | -45 | 0 | -95 |
| 25 | -48,5 | -39 | -43 | -130,5 |
| 26 | -43 | -19 | -60 | -122 |
| 27 | -36,5 | 0 | -43 | -79,5 |
| 28 | -30 | -19 | 0 | -49 |
| 29 | -19 | -39 | 43 | -15 |
| 30 | -12,5 | -45 | 60 | 2,5 |
| 31 | -7 | -39 | 43 | -3 |
| 32 | 0 | -19 | 0 | -19 |
| 33 | 7 | 0 | -43 | -36 |
| 34 | 12,5 | 19 | -60 | -28,5 |
| 35 | 19 | 39 | -43 | 15 |
| 36 | 30 | 45 | 0 | 75 |
| 37 | 36,5 | 39 | 43 | 118,5 |
| 38 | 43 | 19 | 60 | 122 |
| 39 | 48,5 | 0 | 43 | 91,5 |
| 40 | 50 | 19 | 0 | 69 |
| 41 | 48,5 | 39 | -43 | 32,5 |
| 42 | 43 | 45 | -60 | 28 |
| 43 | 36,5 | 39 | -43 | 32,5 |
| 44 | 30 | 19 | 0 | 49 |
| 45 | 19 | 0 | 43 | 62 |
| 46 | 12,5 | -19 | 60 | 53,5 |
| 47 | 7 | -39 | 43 | 11 |
| 48 | 0 | -45 | 0 | -45 |
Заключение
В результате графического синтеза были получены результирующие колебания двух периодических сигналов. Периоды этих результирующих колебаний равны периодам колебаний первых гармоник (основного тона). При постоянных амплитудах трех гармоник изменялись значения фаз, такое изменение привело к значительному изменению формы второй результирующей кривой (максимальное значение Y2K=122 мм) по сравнению с первой (максимальное значение Y1K=40 мм). Также при сравнении результатов графического синтеза видно, что если результирующее колебание с фазовыми изменениями гармоник коренным образом меняет форму кривой, то амплитудные изменения влияют только на амплитуду результирующего колебания.