Аберрации оптических систем (стр. 2 из 5)

Поскольку

, находим для увеличения

(10)

Если длина волны изменится, то величина

останется той же, величина также будет прежней, если допустить отсутствие хроматизма положения. Следовательно, условие отсутствия хроматизма увеличения системы можно записать в виде

(11)

Так как

, , то (11) удовлетворяется лишь при , т.е. если каждая из этих линз ахроматизирована.

2. Волновые и лучевые аберрации, функции аберраций

Рассмотрим вращательно-симметричную оптическую систему. Пусть

, и , - точки пересечения луча, выходящего из точки предмета , соответственно с плоскостью входного зрачка, плоскостью выходного зрачка и плоскостью параксиального изображения. Если -параксиальное изображение точки то вектор называется аберрацией луча или просто лучевой аберрацией (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Лучевая аберрация

Пусть W— волновой фронт, проходящий через центр

выходного зрачка и связанный с пучком, который формирует изображение и выходит из точки

. Если аберрации отсутствуют, то W совпадает со сферой S, центр которой лежит в точке параксиального изображения

, а сама она проходит через точку

, Sназывается опорной сферой Гаусса (рис. 2.2).

Пусть

и

— точки пересечения луча

с опорной сферой и волновым фронтом Wсоответственно.

Рис. 2.2.Волновая и лучевая аберрации

Оптическую длину пути Ф =

можно назвать аберрацией волнового элемента в точке Qили просто волновой аберрацией и считать положительной, если

и

, расположены по разные стороны от Q. В обычных приборах волновые аберрации достигают 40—50 длин волн, однако в приборах, используемых для более точных исследований (например, в астрономических телескопах или микроскопах), они должны быть значительно меньше, порядка долей длины волны.

Выражения для волновой аберрации легко получить с помощью точечной характеристической функции Гамильтона системы.

Если пользоваться для обозначения оптической длины пути квадратными скобками

, то

(1)

Здесь было использовано то обстоятельство, что точки

и

лежат на одном волновом фронте, т.е.

.

Введем две прямоугольные системы координат со взаимно параллельными осями, начала которых находятся в осевых точках

и

плоскостей предмета и изображения, а оси Zсовпадают с осью системы. Точки в пространстве предмета будут рассматриваться в первой системе, а в пространстве изображения — во второй. Z-координаты плоскостей, в которых лежат зрачки, обозначены через

и

, (на рис 2.1

).

Согласно (1) волновая аберрация выражается через точечную характеристику V следующим образом:

(2)

где (

) — координаты точки , и (X,Y,Z) — координаты точки Q. Координаты (X,Y,Z) уже не являются независимыми; они связаны соотношением, учитывающим, что точка Qлежит на опорной сфере, т. е,

(3)

Здесь

(4)

— координаты точки

параксиального изображения, М — гауссово поперечное увеличение и R — радиус опорной сферы Гаусса

. (5)

Величину Z в выражении (2) можно исключить с помощыо (3), в результате чего Ф стонет функцией только

, , и , т. е,

Лучевые аберрации связаны с функцией аберраций Ф (

, ; X,Y) простыми соотношениями. Из (2) имеем

(6)

Если

, и — углы, которые образуют луч , с осями, а (X, Y, Z) и () — координаты точек и то, на рис. 2.2, получим

(7)

где

(8)

есть расстояние от

до , и — показатель преломления среды в пространстве изображения. Далее из (3) имеем

(9)

Подставляя (7) и (9) в соотношение (6), находим для компонент лучевой аберрации

(10)

Последние соотношения являются точными, но стоящая справа величина

сама зависит от координат точки , т. е. от лучевых аберраций. Тем не менее для большинства практических целей можно заменять на радиус опорной сферы Rили на другое приближенное выражение (см. ниже, уравнение (15)). Легко показать, что в силу симметрии задачи величина Ф зависит от четырех переменных, входящих только в трех комбинациях, а именно: , и . В самом деле, если ввести в плоскостях XY полярные координаты, т. е. положить