то окажется, что Ф зависит только от
, , и , или, что то же самое, Ф зависит от , , и 0. Предположим теперь, что оси X и Y систем с началами в и поворачивается на один и тот же угол и в одном и том же направлении относительно оси системы.При этом
, , не изменяются, а угол 0 увеличивается на угол поворота. Поскольку функции Ф инвариантна относительно таких поворотов, она не должна зависеть от последней переменной, т. е. зависит только от , , и . Следовательно, функции аберраций Ф является функцией трех скалярных произведений (12)двух векторов
и .Отсюда вытекает, что при разложении Ф в ряд по степеням четырех координат нечетные степени будут отсутствовать. Поскольку Ф (0, 0; 0, 0) = 0, то членов нулевой степени тоже не будет. Более того, не будет и членов второй степени, так как, согласно (10), они соответствуют лучевым аберрациям, линейно зависящим от координат, а это противоречит тому, что
, является параксиальным изображением точки . Таким образом, наше разложение имеет вид (13)где с - константа, а
— полином степени 2k по координатам и содержит их только в виде трех скалярных инвариантов (12). Говорят, что член степени 2k описывает волновую аберрацию порядка 2k. Аберрации наинизшего порядка (2k = - 4) обычно называются первичными аберрациями или аберрациями Зайделя.Для оценки порядка величин некоторых выражений и точности наших вычислений удобно ввести параметр
. Этим параметром может служить любая величина первого порядка, скажем, угловая апертура системы. Тогда можно допустить, что все лучи, проходящие через систему, составляют с оптической осью углы О( ), где символ О( ) означает, что величина угла порядка .Оценим погрешность, возникающую при замене
в основном уравнении (10) на величины, не зависящие от и . Из (3) и (5) имеем (14)тогда вместо (8) можем написать
Соотношения (10) для компонент лучевой аберрации принимают вид
(16) (17)3. Первичные аберрации (аберрации Зайделя)
Используя рассуждения, совершенно аналогичные тем, которые относились к функции аберраций, можно показать, что разложение в степенной ряд возмущенного эйконала Шварцшильда имеет в силу симметрии задачи следующий вид:
(1)Где
— полином степени 2k по четырем переменным; более того, эти переменные входят только в трех комбинациях: (2)В соотношении (1) отсутствует член второй степени, так как в противном случае это противоречило бы тому, что,
, , и в приближении параксиальной оптики.Поскольку переменные входят только в комбинациях (2), член
должен иметь вид , (3)где А, В,... — постоянные. Знаки и числовые множители в (3) общепринятые; выражения для лучевых аберраций в этом случае принимают простой вид.
Конечно, разложение в степенной ряд функции
имеет такой же вид, как и (1), но оно не содержит члена нулевого порядка ( ), и главный член отличается от тем, что в нем отсутствует слагаемое . Таким образом, общее выражение для волновой аберрации наинизшего (четвертого) порядка записывается следующим образом: . (4)где В, С,. — те же коэффициенты, что и в (3).
Общее выражение для компонент лучевой аберрации наинизшего (третьего) порядка в виде
(5)Коэффициент А не входит в выражения (4) и (5), т. е. существуют только пять типов аберрации наинизшего порядка, характеризуемых пятью коэффициентами В, С, D, E и F. Как указывалось выше, эти аберрации называются первичными аберрациями или аберрациями Зайделя.
При исследовании аберраций Зайделя удобно выбрать оси таким образом, чтобы плоскость yz проходила через точку предмета; тогда
. Если затем ввести полярные координаты , (6)то (4) примет вид
а (5) — вид
(8)В частном случае равенства нулю всех коэффициентов в (7) волновой фронт, проходящий через выходной зрачок совпадает (в рассматриваемом приближении) с опорной сферой Гаусса (см. рис. 2.2). В общем случае эти коэффициенты отличны от нуля. Тогда каждый член в (7) описывает определенный тип отклонения мы нового фронта от правильной сферической формы; на рис. 3.1 показаны пять различных типов аберраций.
Важность лучевых аберраций, связанных с определенной точкой предмета, можно проиллюстрировать графически с помощью так называемых аберрационных (или характеристических) кривых. Эти кривые являются геометрическим местом точек пересечения лучей, выходящих из фиксированной зоны
=const выходного зрачка, с плоскостью изображения. Тогда поверхность, образованная аберрационными кривыми. соответствующими всем возможным значениям , представляет собой неидеальное изображение.Рис.3.1 Первичные волновые аберрации.
А) сферическая. Б) кома. В) астигматизм. Г) кривизна поля. Д) дисторсия
Рассмотрим отдельно каждую из аберраций Зайделя
3.1 Сферическая аберрация ( )
Если все коэффициенты, за исключением В, равны нулю, то (8) принимает вид
. (9)