Алгоритм Кеннета-Джексона для опису фазових перетворень у бінарних сплавах. Опис дифузії (стр. 2 из 5)
Рух атома, що межує з вакансією, аналогічний процесу дифузії по міжвузіллях. Атом υ разів за секунду «ударяється» об бар’єр. Відносна частка часу, на протязі якого атом має енергію, достатня для подолання цього бар’єру, рівна
, де 
- висота бор’єру. Але в цей розрахунок повинен ввійти додатковий фактор, який враховує, що вакансія, яка наближається до втома існує в даному вузлі решітки лише малий проміжок часу. Вона визначається як 
, де 
- енергія утворення вакансії.Частота стрибків атома буде рівна
Де Z – кількість рівноцінних сусідніх вузлів.
Частота ж сильно залежить від температури. Для таких металів, як мідь, срібло, залізо, обидві енергії
і рівні приблизно 1 еВ. Тому для цих металі частота набагато менша частоти стрибків при типовій дифузії по міжвузілля (за однакових умов).Крім описаних механізмів дифузії існує багато інших – краудіонний, релаксаційний (локальне плавлення), кільцевий та інші.
2.3 Переміщення атомів на великі відстані
Розрахуємо зміщення атома після того, як він зробив певну кількість стрибків. Всі стрибки мають однакову довжину (вони рівні міжатомній відстані) і відбуваються в решітці з високим степенем симетрії. Але припустимо, що рух атома в різних можливих кристалографічних напрямках хаотичний. Атоми можуть перескакувати вперед, назад, вгору і донизу. Тому ніколи не можна передбачити, яку результуючу траєкторію здійснить атом після певної кількості стрибків. З певною точністю можна визначити лише зміщення, усереднене по багатьох дифундуючи атомах.
Найпростіше виконати такий розрахунок для випадку руху атомів тільки в одному вимірі (вздовж прямої). Припустимо, що в початковий момент часу атом знаходиться в точці 0. Тоді він виконує послідовні стрибки довжиною d кожен. (рис. 2.3.1).
Рис.2.3.1 Координати нових розміщень атомів для одновимірних хаотичних стрибків
Напрямок кожного стрибка хаотичний; він не залежить від будь-яких попередніх подій. Результуюча відстань Х, яку пройде атом після n стрибків, рівна алгебраїчній сумі всіх окремих стрибків:
,де
- довжина першого стрибка, 
- довжина n-го стрибка. Відстань Х відповідає добутку довжини стрибка d на певний множник, при чому ця відстань може бути додатною, від’ємною і рівною нулю. Насправді середня величина Х після багатьох атомних стрибків в точності рівна нулю, хоча діапазон зміни Х лежить в межах від +nd до –nd. Це середнє є алгебраїчним, і те що вона рівна нулю говорить, що додатній напрямок стрибків не має переваг над від’ємним. Але існують і такі середні значення, які не рівні нулю. До них відносяться, середнє квадратичне, яке є мірою загальної відстані, пройденої атомом від початкового положення.Середнє значення
(позначається 
) буде рівне 
Це співвідношення зручніше записати у вигляді
Тобто це означає, що потрібна велика кількість стрибків, щоб значення Х мали достатню величину.
Запишемо це рівняння в іншій формі. Кількість стрибків n виразимо, як добуток стрибків f і часу t, необхідного для здійснення n атомних стрибків
(*)Параметр
залежить від властивостей матеріалу і від температури.В 1D коефіцієнт дифузії Dвизначається як
Підставивши у формулу (*) це значення отримаємо
(**)Середньоквадратична відстань, яку проходить дуфундуючий атом, змінюється пропорційно кореню квадратному із часу. Коефіцієнт ½ введений у рівняння для коефіцієнту дифузії для того, щоб узгодити його з рівнянням (**).
Зазвичай атоми роблять стрибки в усіх трьох напрямках. Тому можна розрахувати середньоквадратичне радіальне зміщення
в будь-якому напрямку від початкової точкиТоді
,де f – частота, з якою атом змінює свій напрям в решітці. В багатьох таких задачах цікавим є результуюче дифузійне переміщення відносно певної координати, хоча атом здійснює стрибки і в інших напрямках. За умовами симетрії
рівне 
(***)Тому «трьохвимірний» коефіцієнт дифузії визначається так
Щоб встановити залежність коефіцієнта дифузії від температури використаємо вираз для частоти. Для кубічних кристалів отримаємо:
Усі параметри перед експонентою зазвичай об’єднують в один коефіцієнт
, а сумарну енергію позначають Q: 
Величина
- частотний фактор, а Q – енергія активації.Опишемо дифузію ансамбля незалежних частинок, які розподілені в просторі з початковою концентрацією
. Концентрацію цих частинок у довільний момент часу tможна виразити через наступний інтеграл 
Легко переконатися, що розподіл
підкоряється такому ж рівнянню, як і імовірність переходів 
Це і є рівняння дифузії – другий закон Фіка, запропонований ним у 1855 році.
Легкий домішковий атом дифундує по міжвузіллях або вакансія рухається по вузлах не корельовано, тобто кожен наступний крок не залежить від попереднього. Для дифузії, як ми вже знаємо, за вакасійним механізмом все не так. Атом може здійснити скачок, але відразу після скачка він «пам’ятає», що позаду нього є вакансія і найімовірнішим для атома буде скачок назад. Отже
,де
Для випадку N>> 1 можна показати, що величина fвід N не залежить.
Величина f у такій інтерпретації називається кореляційним множником, і є свого роду коефіцієнтом корисної дії атомних скачків.
Для кристалу з кубічною симетрією він буде рівний
де
- кут між напрямами двох послідовних скачків атома.Кореляційний множник дуже важливий в дифузії сплавів, особливо сильновпоядкованих. Тут хаотична міграція стає настільки невигідною (руйнує порядок), що кореляційний множник для механізму скачків у першу координаційну сферу прямує до нуля.
Розглянемо дифузію за вакансійним механізмом мічених атомів сорту А* в чистому кристалі, що складається з атомів того ж сорту. Нехай для конкретності кристал має ГЦК-структуру, а градієнт концентрації створений у напрямі <100> (вздовж ребра куба стороною а). Міжплощинна відстаньdдля цього напрямку дорівнює а/2. Виберемо уявну площину з координатою х посередині між двома сусідніми атомними площинами з координатами x-d/2, x+d/2. Нехай
- атомні концентрації (частки) мічених атомів у відповідних площинах. Скачки мічених атомів відбуваються шляхом обміну з вакансіями, концентрація яких (а значить, імовірність появи у сусідньому вузлі) вважається постійною 
.Густину потоку мічених атомів через площину х знаходимо як різницю частоти скачків у двох напрямках з урахуванням кореляції