Алгоритм Кеннета-Джексона для опису фазових перетворень у бінарних сплавах. Опис дифузії (стр. 4 из 5)
3.5 Стрибкоподібний інтерфейс в 1D
Для ступінчатої зміни концентрації складу, при якій концентрації двох суміжних площин різні, але концентрації рівномірні вздовж цих площин, всі віддалені від інтерфейсу площини мають об’ємну вільну енергію. Позначаючи концентрації обох боків інтерфейсу C1 і C2, кількість пар АВ площини біля інтерфейсу дорівнює:
Для поверхні 1 площини інтерфейсу
(8)Для поверхні 2 площини інтерфейсу
(9)Додаємо (8) та (9)
(10)Перший доданок – кількість пар АВ, якщо два шари біля інтерфейсу були об’ємними, другий – поправка відповідно до інтерфейсу. Подібний вираз був виведений Беккером який назвав другий доданок вільною енергією одиниці поверхні розділу фаз (міжфазовий натяг).
Для альтернативних шарів двох різних концентрацій, розділених стрибкоподібним інтерфейсам, як на рис.3.5.1, де інтерфейси на n/2 атомних відстанях один від одного, тоді λ=nd, повна енергія на атом одного періоду n атомів дорівнює
(11)Використовуючи С0=(С1+С2)/2, і С1–С2=ΔC, це перетворюється в
(12)Ця форма використовувалася Хіллертом. Він встановив, що вона була справедлива лише коли інтерфейси були добре розвинені на пізніших стадіях спінодального розпаду. Другий доданок схожий на «градієнт енергії» представлений Каном і Хілліардом.
3.6 Малоамплітудні синусоїдальні збурення в 1D
Вільна енергія малоамплітудного синусоїдального збурення може бути оцінена за рівнянням (7) для розподілу компонент структури у вигляді:
(13) 
Рис.3.5.1 Послідовність стрибкоподібних інтерфейсів
Підставляючи це в рівняння (7), отримаємо
(14)Зводячи подібні доданки, і використовуючи
cos(k(z+d))+cos(k(z−d))=2cos(kz)cos(kd), рівняння (14) матиме вигляд:
(15)Інтегрування по z, це перетворить в
(16)Повна вільна енергія отримана підставлянням рівняння (16) в рівняння (2)
(17)Використовуючи наближення cos(kd)≈1−k2d2/2 це рівняння стає ідентичним до коефіцієнта градієнта енергії К, виведеного Каном і Хілліардом для синусоїдальних збурень в сталому розчині
(18)РОЗДІЛ 4 ХІМІЧНІ ПОТЕНЦІАЛИ
4.1 Хімічні потенціали в 1D
Підставляючи рівняння (6) в рівняння (2), та виражаючи вільну енергію через кількість атомів кожному шарі, ми отримаємо для шару z
(19)де W=Ω/Z, NA(z)+NB(z)=N(z) і
Відповідні хімічні потенціали
(20) 
(21)При розрахунках хімічних потенціалів, необхідно включити зміну енергії сусідніх шарів відповідно до змін концентрації шару z.
Відмітимо, що
(22)Хімічні потенціали можуть бути записані як
(23) 
(24) Вільна енергія атомів квадратної решітки в 2D дорівнює
Відповідні хімічні потенціали дорівнюють
(26) 
де
(28)є сумою концентрацій сусідніх атомів х,у.
Вільна енергія атомів простої кубічної решітки в дорівнює
(29)Зауважимо, що останній доданок в обох рівняннях (25) і (29) може бути перетворений в доданок другої похідної, відніманням ZWNC(1−C). Це дасть стандарту форму для вільної енергії твердого розчину плюс доданок другої похідної для змін концентрацій. Відповідні хімічні потенціали в 3D
де
РОЗДІЛ 5 РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ ДЛЯ ДИФУЗІЇ
5.1 Дифузійні потоки, базовані на активностях
Потік атомів з вузла Ji дорівнює частоті, помноженій на коефіцієнт Больцмана, що містить різницю між хімічним потенціалом чистого компонента (μj* ) та дійсним значенням хімічного потенціалу j-го компонента (μj).
Pj=exp((μj−μj0)/kT) - активність j компонент. Г0 – звичайно береться як дебаївська частота, і відхилення від цієї частоти зосереджуються в ентропії та енергії активованого стану. μj0 містить доданки ϕjjв хімічних потенціалах, які включені в Γj, щоб давати енергію активації для дифузії. Для ідеального розчину Pj=Cj і отже рівняння (33) зменшує до нормальної концентрації потік що рухається. Результуюча потоків в вузол виражається різницею між повним потоком з вузлів до всіх її сусідів, і повним потоком в вузол від сусідів.
Як видно з рівняння(33), активність P збільшується зі зниженням температури. Це означає, що для постійної Γ, яку ми використаємо в наших розрахунках, потоки збільшуються з пониженням температури. Однак, беручи до уваги температурну залежність Γ, потоки зменшуються зі зниженням температури, так що результуюча енергія активації для дифузії буде меншою, ніж це було отримано з вимірів далеких від критичної точки.
Якщо система не перебуває в рівновазі, потоки двох видів, JA і JB будуть відрізнятися, оскільки хімічний потенціал для кожного з двох видів на кожній ділянці різний. Так як швидкість, з якою атом А міняється місцем з атомом B повинна бути такою ж, як швидкість зміни місця атома B з атомом А, то Γ є однаковою для обох типів.
Даркен розробив рівняння для дифузії, де потоки двох видів різні через введення вакансій в якості третьої компоненти. Дифузійні потоки залежать від активностей, та результуюча дифузія була отримана шляхом усереднення коефіцієнтів активності. Дифузія впливає на градієнти концентрацій, і тому процес дифузії описується стандартними диференціальними рівняннями другого порядку. Усереднення коефіцієнтів активності, як це було зроблено Даркеном, не призводить до правильної структури фаз, а усереднення потоків призводить. Даркен не розглянув можливість від’ємної ефективної дифузії, що може призвести до розпаду.
5.2 Різницеві рівняння для дифузії в 1D
Різницеві рівняння для дифузії в 1D будуть записані в звичайному вигляді, але з використанням усереднення потоків двох видів. Потік атомів А у напрямку, протилежному потоку атомів B, тому потоки просумовані зі збереженням знака потоку атомів А.
де D=d2Γ/6, d- міжплощинний інтервал, і
Тут D - є дифузія в одиницях довжина2/час, d - міжплощинний інтервал, а Δt - збільшення часу між ітераціями. Хоча структури тут описані одномірною змінною, ця модель є тривимірною, з площинними змінними структури що описані однією змінною. Для того, щоб зробити результати 1D
співрозмірними з 3D результатами ми вирішили включити стрибки у площині в стрибок швидкості, і, отже, стрибок швидкості в будь якому одному напрямку дорівнює 1/6 від загальної швидкості стрибка.
Рівняння такого типу не можуть бути вирішені аналітично, але вони можуть бути легко обчислені чисельно.
5.3 Рівння в кінцевих різницях для дифузії в 2D
Як і для 1Dрізницеве рівняння для дифузії може бути записане в звичайній формі використовуючи усереднення двох потоків.
де
5.4 Різницеві рівняння для дифузії в 3D
Як і для 1D і 2D, різницеве рівняння для дифузії може бути записане в звичайній формі з використання усереднення двох потоків
де
(40)Коли параметр регулярного розчину, Ω = WZ, дорівнює нулю, ці диференціальні рівняння зводяться до стандартних рівнянь дифузії.