Некоторые уравнения математической физики в частных производных (стр. 2 из 4)

удовлетворяющее однородным граничным условиям

(9)

и начальным условиям

(10)

Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение.

Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения

не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям

(11)

и представимое в виде произведения

(12)

где X (x) – функция только переменного x, T (t) – функция только переменного t.

Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим:

или, после деления на XT,

(13)

Чтобы функция (12) была решением уравнения (1), равенство (13) должно удовлетворяться тождественно, т. е. 0 ‹ х ‹

, t › 0. Правая часть равенства (13) является функцией только переменного t, а левая – только х. Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части равенства (13) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение

(14)

где

– постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.

Из соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X (x) и T (t)

(15)

(16)

Граничные условия (11) дают:

Отсюда следует, что функция X (x) должна удовлетворять дополнительным условиям:

X(0) = X(

) = 0, (17)

Так как иначе мы имели бы

в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T (t) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет.

Таким образом, в связи с нахождением функции X (x) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях: найти те значения параметра

, при которых существуют нетривиальные решения задачи:

(18)

а также найти эти решения. Такие значения параметра

называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма – Лиувилля.

Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр

отрицателен, равен нулю или положителен.

1. При

‹ 0 задача не имеет нетривиальных решений. Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид

Граничные условия дают:

Х (0) = С1 + С2 = 0;

т. е.

Но в рассматриваемом случае

– действительно и положительно, так что . Поэтому

С1 =0, С2 = 0

и, следовательно,

Х (х)

0.

2. При

= 0 также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет вид

Х (х) = С1х + С2.

Граничные условия дают:

т. е. С1 = 0 и С2 = 0 и, следовательно,

Х (х)

0.

3. При

› 0 общее решение уравнения может быть записано в виде

Граничные условия дают:

Если Х(х) не равно тождественно нулю, то D2

0, поэтому

(19)

Или

где n- любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях

Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

где Dn – произвольная постоянная.

Итак, только при значениях

, равных

(20)

существуют нетривиальные решения задачи (11)

(21)

определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям

n соответствуют решения уравнения (9)

(22)

где An и Bn – произвольные постоянные.

Возвращаясь к задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции

(23)

являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (11) и представимыми в виде произведения (12) двух функций, одна из которых зависит только от х, другая – от t. Эти решения могут удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачи только для частных случаев начальных функций j(x) и y(x).

Обратимся к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений

(24)

также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (9). Начальные условия позволяют определить An и Bn. Потребуем, чтобы функция (24) удовлетворяла условиям (10)

(25)

Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция f(x), заданная в промежутке

, разлагается в ряд Фурье

(26)

где

(27)

Если функции j(x) и y(x) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то

(28)

(29)

Сравнение этих рядов с формулами (25) показывает, что для выполнения начальных условий надо положить

(30)

чем полностью определяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи.

Итак, мы доказали, что ряд (24), где коэффициенты An и Bn определены по формуле (30), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u (x, t), которая является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (9) и (10).

Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (24) представляет решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция

должна быть дважды дифференцируемой, а - один раз дифференцируемой.

1.4 Решение уравнений

1. Найти решение уравнения:

, если , .