Некоторые уравнения математической физики в частных производных (стр. 3 из 4)

Решение:

Так как

, а , то

,

где

. Таким образом, , или .

2. Найти форму струны, определяемой уравнением

в момент , если

3.

, .

Решение:

Имеем

,

т.е.

, или .

Если

, то , т.е. струна параллельна оси абсцисс.

4. Струна, закрепленная на концах

и , имеет в начальный момент форму параболы .

5. Определить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют.

Решение:

Здесь

, . Находим коэффициенты ряда, определяющего решение уравнения колебания струны:

; .

Для нахождения коэффициента

дважды интегрируем по частям:

, , , ;

,

т.е.

, , , ;

=

.

Подставляя выражения для

и получим:

.

Если

, то , а если , то ; поэтому окончательно имеем

Пусть начальные отклонения струны, закрепленной в точках

и , равны нулю, а начальная скорость выражается формулой

Определить форму струны для любого момента времени t.

Решение:

Здесь

, а в интервале , и вне этого интервала.

Следовательно,

;

Отсюда

Или

Глава 2. Уравнения параболического типа

2.1 Уравнение распространения тепла в стержне

Рассмотрим однородный стержень длины

. Будем предполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла в стержне.

Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х = 0, а другой – с точкой х =

.

Рис. 2.1.

Пусть u (x, t) – температура в сечении стержня с абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. е. количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой

(1)

где S – площадь сечения рассматриваемого стержня, k – коэффициент теплопроводности.

Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х1 и х2 (х2 – х1 =

х). Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой х1 за время t, будет равно

(2)

то же самое с абсциссой х2:

(3)

Приток

Q1 - Q2 в элемент стержня за время t будет равняться:

(4)

Этот приток тепла за время

t затратился на повышение температуры элемента стержня на величину u:

Или

(5)

где с – теплоемкость вещества стержня,

– плотность вещества стержня ( xS – масса элемента стержня).

Приравнивая выражения (4) и (5) одного и того же количества тепла

, получим:

Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности) в однородном стержне.

Чтобы решение уравнения (6) было вполне определено, функция u (x, t) должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Краевые условия для решения уравнения (6) могут быть различные. Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой задаче для

, следующие:

u (x, 0) = φ(x), (7)

u (0, t) = ψ1(t), (8)

u (

, t) = ψ2(t). (9)

Физическое условие (7) (начальное условие) соответствует тому, что при

в разных сечениях стержня задана температура, равная φ(x). Условия (8) и (9) (граничные условия) соответствуют тому, что на концах стержня при х = 0 и при х = поддерживается температура, равная ψ1(t) и ψ2(t) соответственно.