Теория столкновений (стр. 2 из 4)

2.1 Борновское приближение

Рассматриваем потенциал как возмущение. Для получения амплитуды рассеяния в первом порядке по потенциалу взаимодействия, подставим в (1.5) невозмущенную волновую функцию

и получим

2.2 Критерий применимости

, что дает для сферически симметричного потенциала условие

Оно приводится к

Иными словами, характерная потенциальная энергия |U(a)| должна быть мала либо (для медленных частиц) по сравнению с характерной энергией

либо (для быстрых частиц) по сравнению с (в последнем случае |U(a)| может быть и не мала по сравнению с ).

Критерий применимости борновского приближения для рассеяния медленных частиц

соответствует тому, что в случае притягивающего потенциала притяжение недостаточно для образования связанного состояния. В случае быстрых частиц условие соответствует тому, что неопределенность в энергии, связанная с временем пролета, должна быть много больше потенциала взаимодействия; условие ka >> 1 обеспечивает здесь применимость квазиклассического рассмотрения.

2.3 Формула Резерфорда

Для поля U(r) = −α/r критерий применимости борновского приближения

Борновская амплитуда равна

а сечение рассеяния

совпадает с классическим. Отметим без доказательства, что борновская формула для сечения совпадает с точной (это верно лишь в нерелятивистском приближении). Полное сечение равно бесконечности.

2.4 Атомный форм-фактор

При упругом рассеянии быстрых электронов на атоме последний можно рассматривать как источник статического потенциала ϕ(r), создаваемого средним распределением зарядов в атоме

Так как

то из

следует, что

. Таким образом,

Здесь введен так называемый атомный форм-фактор:

При qa >> 1, то есть при углах рассеяния θ >> 1/ka, форм-фактор |F|<<|Z | и сечение совпадает с резерфордовским. Это вполне естественно: большие углы рассеяния соответствуют малым прицельным параметрам, при которых налетающая частица рассеивается ядром, практически неэкранированным.

При qa << 1 имеем

В этой области дифференциальное сечение

Таким образом, при рассеянии на атоме полное сечение оказывается (в отличие от резерфордовского) конечным.

Пример

Атом водорода.

,поэтому

Указанному распределению зарядов соответствует потенциальная энергия

В классической механике в таком поле σ = ∞, что находится в резком противоречии с квантовым (правильным!) результатом.

2.5 Конечные сечения в квантовой механике

Обсудим подробнее вопрос о том, какие потенциалы приводят в квантовой механике к конечным сечениям. Пусть на больших расстояниях

. В классической механике при рассеянии в таком поле полное сечение бесконечно, так как любым большим прицельным параметрам ρ соответствуют хотя и малые, но конечные классические углы отклонения

В квантовой механике для частицы с прицельным параметром ρ (у нее

неопределенность поперечного импульса поэтому квантовая неопределенность угла отклонения равна

Таким образом, при

и поэтому квантомеханические результаты могут существенно отличаться от классических.

Зная поведение U(r) на больших расстояниях, где взаимодействие всегда слабое и поэтому борновское приближение применимо, можно оценить поведение амплитуды в области малых углов рассеяния:

Отсюда получаем, что дифференциальное сечение

конечно при θ → 0,если n>3, а полное сечение

конечно при n>2.

Опыты по рассеянию быстрых электронов на ядрах. Формфакторы элементарных частиц.

3. Фазовая теория рассеяния

Рассеяние на сферически симметричном потенциале является симметричным, то есть ψ(r) зависит лишь от r и θ,но не от ϕ. Поэтому разложение этого решения по парциальным волнам содержит лишь

(3.1)

Как известно (центральное поле сил),

Чтобы выполнялось граничное условие (1.2), необходимо

Тогда

3.1 Понятие о неупругом сечении

Решение (3.1) при r →∞ можно представить не только в виде (1.2), но и в виде двух сферических волн, расходящейся и сходящейся:

(разумеется, при таком разбиении расходящаяся волна

отличается от в (1.2)). Парциальная амплитуда расходящейся волны отличается на множитель от соответствующей амплитуды в сходящейся волне. Если нет поглощения частиц силовым центром, то этот множитель должен быть по модулю равен единице, .

Если есть поглощение, то

, а величина характеризует уменьшение потока частиц в расходящейся волне по сравнению с потоком частиц в сходящейся. Действительно,

Поэтому неупругое сечение равно

3.2 Оптическая теорема

Для процессов рассеяния и поглощения существуют определенные ограничения и связи. Введем понятие парционального сечения

, представив . В классической механике момент импульса , поэтому , а под парциальным сечением естественно понимать площадь кольца между окружностями радиусов и ,то есть

Парциальные сечения для упругого, неупругого и полного

сечения можно записать в виде