Графен и его свойства (стр. 2 из 4)

Ещё одна перспективная область применения графена — его использование для изготовления электродов вионисторах(суперконденсаторах) для использования их в качестве перезаряжаемых источников тока. Опытные образцы ионисторов на графене имеют удельную энергоёмкость 32 Вт·ч/кг, сравнимую с таковой длясвинцово-кислотныхаккумуляторов(30−40 Вт·ч/кг)

Недавно был создан новый тип светодиодов на основе графена (LEC). Процесс утилизации новых материалов экологичен при достаточно низкой цене.

5. Физика

Физические свойства нового материала можно изучать по аналогии с другими подобными материалами. В настоящее время экспериментальное и теоретическое исследование графена сосредоточено на стандартных свойствах двумерных систем: проводимости, квантовом эффекте Холла,слабой локализациии других эффектах, исследованных ранее вдвумерном электронном газе.

5.1 Теория

В этом параграфе кратко описываются основные положения теории, некоторые из которых получили экспериментальное подтверждение, а некоторые ещё ждут верификации.

5.1.1 Кристаллическая структура

Кристаллическая решёткаграфена представляет собой плоскость, состоящую из шестиугольных ячеек, то есть является двумерной гексагональной кристаллической решёткой. Для такой решётки известно, что еёобратная решёткатоже будет гексагональной. Вэлементарной ячейке кристалла находятся два атома, обозначенные A и B. Каждый из этих атомов при сдвиге навектора трансляций(любой вектор вида

, гдеmиn — любые целые числа) образует подрешётку из эквивалентных ему атомов, то есть свойства кристалла независимы от точек наблюдения, расположенных в эквивалентных узлах кристалла. На рисунке 3 представлены две подрешётки атомов, закрашенные разными цветами: зелёным и красным.

Расстояние между ближайшими атомами углерода в шестиугольниках, обозначенное a0, составляет 0,142 нм.Постоянную решётки(a) можно получить из простых геометрических соображений. Она равна

, то есть 0,246 нм. Если определить за начало координат точку, соответствующую узлу кристаллической решётки (подрешётка A), из которой начинаютсявекторы трансляций: с длиной векторов, равнойa,и ввести двумернуюдекартову систему координатв плоскости графена с осью ординат, направленной вверх, и осью абсцисс, направленной по отрезку, соединяющему соседние узлы A и B, то тогда координаты концов векторов трансляций, начинающихся из начала координат, запишутся в виде:

а соответствующие им вектора обратной решётки:

(без множителя2π). В декартовых координатах положение ближайших к узлу подрешётки A (все атомы которой на рисунке 3 показаны красным) в начале координат, атомов из подрешётки B (показаны соответственно зелёным цветом) задаётся в виде:

5.1.2 Зонная структура

Кристаллическая структура материала находит отражение во всех его физических свойствах. В особенности сильно от порядка, в котором расположены атомы в кристаллической решётке, зависит зонная структура кристалла.

Зонная структура графена рассчитана в статье[1]в приближении сильно связанных электронов. На внешней оболочке атома углерода находится 4 электрона, три из которых образуют связи с соседними атомами в решётки при перекрыванииsp²-гибридизированныхорбиталей, а оставшийся электрон находится в 2pz-состоянии (именно это состояние отвечает вграфитеза образование межплоскостных связей, а в графене — за образование энергетических зон). Вприближении сильно связанных электроновполнаяволновая функциявсех электронов кристалла записывается в виде суммы волновых функций электронов из разных подрешёток

где коэффициент λ — некий неизвестный (вариационный) параметр, который определяется из минимума энергии. Входящие в уравнение волновые функцииφ1иφ2записываются в виде суммы волновых функций отдельных электронов в различных подрешётках кристалла

Здесь

и —радиус-векторы, направленные на узлы кристаллической решётки, а и — волновые функции электронов, локализованных вблизи этих узлов.

В приближении сильно связанных электронов интеграл перекрытия (γ0), то есть сила взаимодействия, быстро спадает на межатомных расстояниях. Другими словами — взаимодействие волновой функции центрального атома с волновыми функциями атомов, расположенных на зелёной окружности (см. Рис. 4), вносит основной вклад в формирование зонной структуры графена.

Энергетический спектр электронов в графене имеет вид (здесь учтены только ближайшие соседи, координаты которых задаются по формуле (1.3))

где знак «+» соответствует электронам, а «-» — дыркам.

5.1.3Линейный закон дисперсии

Из уравнения (2.4) следует, что вблизи точек соприкосновения валентной зоны и зоны проводимости (K и K')закон дисперсиидля носителей (электронов) в графене представляется в виде:

ГдеvF —скорость Ферми(экспериментальное значениеvF=106м/с) , k — модуль волнового вектора в двумерном пространстве с компонентами

отсчитанного от K или K ' точек Дирака, — постоянная Планка. Здесь следует отметить, что такого рода спектром обладаетфотон, поэтому говорят, чтоквазичастицы(электроны и дырки, энергия для которых выражается формулой ) в графене обладаютнулевойэффективной массой. Скорость ФермиvFиграет роль «эффективной» скорости света. Так как электроны и дырки — фермионы, то они должны описываться уравнением Дирака, но с нулевой массой частиц и античастиц (аналогично уравнениям для безмассовых нейтрино). Кроме того, так как графен — двухдолинный полуметалл, то уравнение Дирака должно быть модифицировано для учёта электронов и дырок из разных долин (K, K'). В итоге мы получим восемь дифференциальных уравнений первого порядка, которые включают такие характеристики носителей, как принадлежность к определённой подрешётке (A, B) кристалла, нахождение в долине (K, K') и проекцию спина. Решения этих уравнений описывают частицы с положительной энергией (электроны) и античастицы с отрицательной энергией (дырки). Обычно спин электрона не принимают во внимание (когда отсутствуют сильные магнитные поля) и гамильтониан уравнения Дирака записывается в виде:

где

— вектор-строка, состоящая изматриц Паули.

Линейный закон дисперсии приводит к линейной зависимости плотности состояний от энергии, в отличие от обычных двумерных систем с параболическим законом дисперсии, гдеплотность состоянийне зависитот энергии. Плотность состояний в графене задаётся стандартным способом

где выражение под интегралом и есть искомая плотность состояний (на единицу площади):

Гдеgsиgv — спиновое и долинное вырождение соответственно, а модуль энергии появляется, чтобы описать электроны и дырки одной формулой. Отсюда видно, что при нулевой энергии плотность состояний равна нулю, то есть отсутствуют носители (при нулевой температуре).

Концентрация электронов задаётся интегралом по энергии