Кинетические уравнения Власова (стр. 6 из 6)
С учетом вычисленных заранее результатов по поправкам малых порядков это означает, что получившийся для описания поправки порядка n многочлен с символической переменной
совпадает с полиномом 
для производных от обратных функций. То, что порядок его смещен на единицу, вызвано необходимостью снятия одного дифференцирования по dτ (в 
). По той же причине внутренняя его переменная – это не входящая в уравнение Власова (3) скорость υ, но интеграл от неё по импульсу, то есть энергия: ω = ω(υ). Поскольку упомянутые полиномы 
стандартно выражаются через имеющие явную формулу полиномы Белла, приходим в итоге к одному из вариантов формулы Бруно.Суммируя полученные при выводе формул (3-4) результаты, приходим к завершающей формуле (5) для записи решения системы (1-2) в замкнутом виде. Здесь и далее, как и ранее
, 
, 
а сокращение записи суммы 
используется для обозначения её по всем разбиениям натурального параметра n: – 
: 
(5)Полезно сравнить полученную для решения системы (1-2) формулу (5) с формулой Тейлора для разложения сложной функции в степенной ряд, с использованием формулы Бруно для n-производной сложной функции:
3.7 Классическое и релятивистское решения уравнения Власова
Приведу два частных случая общей формулы (5), решающих задачу нахождения электрического поля E(τ, ζ), в классической (все производные, кроме первой, скорости по импульсу равны нулю) и релятивистской – υ2 = π2/(1+π2) ≡ π2/ω2 – трактовках:
(6) 
(7).Здесь γ-2=1 – υ2 ,
, и далее по индукции 
,где m = n–k, Pm(υ) – многочлены Лежандра, c(n,k) = 2n-kk(m-1)!/n! а, следовательно, полиномы
удовлетворяют дифференциальным уравнениям: (1-υ2)y" – 2(k+1) υ y' + (n–k)(n+k+1)y = 0Формулу (5) можно записать и в несколько изменённом виде, а именно воспользоваться энергией ω вместо скорости υ, производные от E0 брать не по dτ, но по dζ и провести еще одно дополнительное дифференцирование по dζ и индуктивно свернуть сумму по n при постоянном k. В результате получим упрощение ранее полученной формулы, аналогичное ряду Бюрмана-Лагранжа для пары функций ω(π) и Ε0(χ0) (здесь
): 
Ряды (6) и (7) и их общий случай (5) формально не являются рядами Бюрмана-Лагранжа для вычисления значений аналитической f(z) при заданной и также аналитической функции w = w(z) . Требуемая для этого подстановка z = 0 приводит в силу граничных условий к тривиальному равенству: 0 = 0. Тем не менее, их (как и сами ряды Бюрмана-Лагранжа) удаётся интерпретировать как решения уравнений z = z0 + w·f(z) при надлежащем выборе z, w, z0, f. Такая их трактовка весьма важна ввиду следующих двух обстоятельств.
Во-первых, ряд (5) вполне может оказаться расходящимся при достаточно больших значениях ε. Однако, решение исходной системы (1)-(2) обязано существовать и в этом случае. Классическим примером с аналогичной проблемой оценки Rсх является задача Кеплера.
А во-вторых, в настоящее время в связи с ростом возможностей ЭВМ уже нельзя однозначно говорить, что легче: представлять ли корень исследуемого уравнения (например, z = cosz) рядом Бюрмана-Лагранжа или же напрямую решать данное уравнение. Грубо говоря, многие расчётные формулы XIX – начала XX веков должны лучше читаться сейчас справа налево.
I. Одномерное уравнение Власова для плоского монохроматического потока электронов решено относительно входящего в него электрического поля. Решение (этой модельной, неустойчивой задачи) получено в виде ряда по производным от степеней решения её невозмущённого аналога:
и свёрнуто до обычной суммы, аналогичной ряду Бюрмана-Лагранжа для ω , E0:
Решение применимо для априорных оценок точности асимптотических методик решения трёхмерных самосогласованных задач радиационной генерации электромагнитного поля в сложных средах.
II. Задача (1)-(2) – система Власова-Максвелла – может быть заменена эквивалентной ей системой уравнений: - E(τ, χ0) = E0(y(τ, χ0)), где для определения y(τ,χ0) служит НЕ дифференциальное уравнение - 2υ0·(χ0 – y) = ετ2E0(y) в классическом, - 1 –εE0(y)·(y – χ0 + τ)/γ0 = (1 – 2υ0ετE0(y)/γ0 + (ετE0(y)/γ0)2)0.5 в релятивистском и - υ0εE0(y)·(y – χ0 + τ) = ω(π0) – ω(π0 – ετE0(y)) в общем (ω = ω(π)) случаях.
III. Основным приложением полученных формул (5-6), решающих систему Власова-Максвелла является, как сказано выше, анализ динамики быстрых электронов. Но это далеко не единственная область их возможного применения. Электронные ливни являются характерным примером общих ветвящихся случайных процессов, к анализу которых при наличии обратных связей – нелинейное слагаемое в уравнении Власова – можно применять полученные результаты. В частности, описание процесса сохранения и уничтожения сведений (исторических источников) формализуется системой, аналогичной рассмотренной (1-2), в которой, однако, роль пространственной переменной z играет древность источника. Полученное (неустойчивое!) её решение (5) достаточно хорошо описывает (то же неустойчивую!) модель с широко известной формулой: «у истории нет сослагательного наклонения».
1. Власов А.А. О вибрационных свойствах электронного газа ЖЭТФ 8 (3), 1938
2. В. Гинзбург, Л. Ландау, М. Леонтович, В. Фок О несостоятельности работ А.А. Власова по обобщенной теории плазмы и теории твердого тела. ЖЭТФ 3, 1946
3. Н.С. Келлин и др. Об одномерной модельной задаче для уравнения Власова I. М., препринт ИПМ РАН № 67, 2003.
4. Больцман Л., Лекции по теории газов. – М.Ж Гостехиздат, 1956
5. Коган М.Н Динамика разреженного газа. – М., Наука. 1960
6. Владимиров В.С. Уравнения математической физики.- М., Наука 1967
7. Зельдович Я.б., Мышкис А.Д., Механика сплошной среды. - М.: Наука. 1973
8. Н.С. Келлин. Условно стационарные начально-краевые задачи в динамике реакторов, – М., ДАН СССР, т. 293, № 2, 1987.
9. Веденяпин В.В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001
10. Козлов В.В. Кинетическое уравнение Власова, динамика сплошных сред и турбулентность., Нелинейная динамика, 2010, Т6, №3
11. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., ИЛ, 1951.
[1] Больцман Л., Лекции по теории газов. – М.Ж Гостехиздат, 1956 с 36
[2] Коган М.Н Динамика разреженного газа. – М., Наука. 1960 с 21
[3] См. там же
[4] Больцман Л., Лекции по теории газов. – М.Ж Гостехиздат, 1956 с 51
[5] Владимиров В.С. Уравнения математической физики.- М., Наука 1967 с 42
[6] Зельдович Я.б., Мышкис А.Д., Механика сплошной среды.-М.: Наука. 1973 С 38
[7] Владимиров В.С. Уравнения математической физики.- М., Наука 1967 с 76
[8] Владимиров В.С. Уравнения математической физики.- М., Наука 1967 с 92
[9] Владимиров В.С. Уравнения математической физики.- М., Наука 1967 с 131
[10] Владимиров В.С. Уравнения математической физики.- М., Наука 1967 с 139
[11] Н.С. Келлин и др. Об одномерной модельной задаче для уравнения Власова I. М., препринт ИПМ РАН № 67, 2003.