Рассеяние электронной плотности в металлах и ионных кристаллах по рентгенографическим данным (стр. 4 из 9)
С помощью метода функционала электронной плотности, было проведено моделирование моновакансии в чистом алюминии. Моделирование проводилось для ячейки 4x4x4 (256 атомов).
Для бездефектного алюминия был определен параметр решетки, который равен аА! = 4,0468 Ǻ, что хорошо согласуется как с другими работами по моделированию , так и с экспериментальными данными.
Для алюминия содержащего моновакансию, была определена ее энергия образования, которая равна 0,66 эВ, что хорошо согласуется с работами, сделанными ранее, а также проведен расчет перераспределения электронной плотности при образовании вакансии (разность функций распределения электронной плотности в бездефектном алюминии и алюминии с вакансией). [12,13]
В работе [14] рассматривается расчет распределения электронной плотности и потенциала в алмазе по рентгенографическим данным. Распределение электронной плотности задается рядом Фурье
, (1.2.5)где Fhkl - экспериментально измеренные величины структурных амплитуд, H– вектор обратной решетки, абсолютная величина которого дается соотношением
,R–радиус-вектор точки с координатами (x,y,z), для которой определяется электронная плотность, V – объем элементарной ячейки.
Зная интегральные интенсивности дифракционных максимумов Ihkl, может быть определена следующего соотношения структурная амплитуда Fhkl:
,где I0 – интенсивность первичного рентгеновского пучка, падающего на исследуемый образец, А* - произведение всех коэффициентов, входящих в выражение для интенсивности брегговского рефлекса.
Ряд (1.2.5) оказывается слабо сходящимся и его вычисление для известных значений структурных амплитуд может привести к непредсказуемым погрешностям. С другой стороны, распределение плотности заряда, как во всем кристалле, так и в его элементарной ячейке может быть описано уравнением Пуассона:
(1.2.6)где j- электростатический потенциал.
Представим электростатический потенциал j рядом Фурье вида (1.2.5)
(1.2.7)Подставляя (1.2.7) в уравнение (1.2.6) и сравнивая с (1.2.5), приходим к соотношению, выражающему
через структурные амплитуды Fhkl: 
(1.2.8)С учетом (1.2.8), ряд (1.2.7) принимает вид
(1.2.9)Полученный ряд (1.2.9) сходится существенно быстрее, чем ряд (1.2.5).
Представим ряд (1.2.9) в интегральной форме. Будем использовать функцию Эвальда
(1.2.10)Тогда выражение для потенциала j(x,y,z) =j(R) примет следующий вид:
(1.2.11)где F(Н)– функция, достаточно хорошо сглаживающая значения структурных амплитуд в точках Н = Hhkl. Правая часть равенства (1.2.11) представляет собой преобразование Фурье произведения двух функций F(H)/H2и Z(H). Применяя к выражению (1.2.11) теорему о свертке функций, получим
, (1.2.12)где функции f(R) и g(R) находятся Фурье-преобразованием функций F(H)/H2и Z(H).
Чтобы использовать выражение (1.2.12) для расчетов φ(x,у,z),необходимо знать аналитический вид функции F(H), которая на практике определена только в дискретных точках, где она имеет значение Fhkl. Для нахождения F(H) воспользуемся методом аппроксимации. В качестве аппроксимирующей функции удобно взять следующее выражение:
, (1.2.13)где zi – число электронов на i-ой оболочке в атоме;
(1.2.14)Для функции F(H), данной выражением (1.2.13), может быть найдена функция f(R), входящая в выражение для φ(х,у,z) согласно (1.2.12). Эта функция находится Фурье-преобразованием выражения F(Н)/Н2. В случае кубических решеток Фурье-преобразование может быть сведено к синус-преобразованию, тогда для f(R) получим следующее выражение:
(1.2.15)Функция g(R) является решеточной и находится Фурье-преобразованием Z(H). В зависимости от количества атомов в элементарной ячейке производится вычисление g(R), для лития она имеет вид:
(1.2.16)где а — постоянная решетки; m1, m2, m3 — целые числа, начиная с нуля; δ(x-m1a), δ(y-m2a), δ(z-m3a) — δ-функции.
Совершив необходимые вычисления в (1.2.12), получаем следующее выражение для функции распределения потенциала:
, (1.2.17)Здесь через A1, А2 обозначены следующие выражения:
, (1.2.18) 
Значение электростатического потенциала, созданного электронами, получается умножением φ(R) на заряд электрона -е. Потенциал ядер в произвольной точке ячейки V находится суммированием кулоновских потенциалов отдельных ядер. Выражение для потенциала ядер имеет следующий вид: 
(1.2.19)где A1, А2 даются выражениями (1.2.18). Полный потенциал решетки находится суммированием eφ(R) и V(R), т. е.
(1.2.20)Используя формулы (1.2.19), а также значения zi и найденные значения αi2, для потенциала кристаллической решетки получают следующее выражение:
(1.2.21)где Аj даются выражениями (1.2.18)
Аналогичные вычисления для электронной плотности дают следующее выражение:
(1.2.22)Глава 2. Неупругое рассеяние рентгеновских лучей веществом
2.1 Импульсная аппроксимация
Комптон-эффект исследовался многими учеными в практическом и теоретическом плане. КЭ занимались Дю-Монд, Купер, Вейс, Филипс. В их работах было рассмотрено рассеяние на не покоящихся электронах.
Рассеяние монохроматического излучения на покоящихся электронах должно приводить, очевидно, к δ-образному комптоновскому спектру. В дальнейшем, однако, было обнаружено, что спектральная линия КЭ шире, чем этого следовало ожидать из учета немонохроматичности и расходимости основного излучения, как показано на рисунке (2.1.1).
Джансей и более строго Дю-Монд объяснили это расхождение влиянием не учитываемого ранее начального распределения электронов по импульсам. [15]
Пусть ω1, k1 и ω2, k2 - соответственно частота и волновой вектор падающего и рассеянного излучений; тогда величины ω = ω1 - ω2 и k = k1 - k2 определяют энергию и импульс, передаваемые среде в единичном акте рассеяния. А законы сохранения в нерелятивистском приближении (ħν << mc2) выглядят следующим образом.
(2.1.1)где р1 и р2 - импульсы электрона до и после рассеяния. Согласно (2.1.1)
(2.1.2)Энергетическое смещение комптоновской линии задается первым членом в (2.1.2), а второе слагаемое описывает доплеровское уширение линии, определяемое проекцией q импульса р1 па ось k. Так как k1 = ω1/c = 2π/λ1 и k = 2k1sin(
/2), то из (2.1.2) следует известное соотношение Комптона для положения центра линии КЭ на свободных не взаимодействующих электронах: 
(2.1.3)где
- угол рассеяния (угол между направлениями k2 и k1).