Определение. Поворотом фигуры вокруг прямой a на угол j называется такое отображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой a, происходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой a на один и тот же угол j в одном и том же направлении (рис. 7). Прямая a называется осью поворота, а угол j - углом поворота.
Отсюда видим, что поворот всегда задается осью, углом и направлением поворота.
Теорема 1. Поворот вокруг прямой сохраняет расстояния, т.е. является движением.
См. Доказательство 2.
Теорема 2. Если движение пространства имеет множеством своих неподвижных точек прямую, то оно является поворотом вокруг этой прямой.
7.1. Фигуры вращения.
Фигура называется фигурой вращения, если существует такая прямая, любой поворот вокруг которой совмещает фигуру саму с собой, другими словами, отображает ее саму на себя. Такая прямая называется осью вращения фигуры. Простейшие тела вращения : шар, прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус.
7.2. Осевая симметрия.
Частным случаем поворота вокруг прямой является поворот на 180°. При повороте вокруг прямой a на 180° каждая точка A переходит в такую точку A’, что прямая a перпендикулярна отрезку AA’ и пересекает его в середине. Про такие точки A и A’ говорят, что они симметричны относительно оси a. Поэтому поворот на 180° вокруг прямой является называется осевой симметрией в пространстве.
8.1. Неподвижные точки движений пространства.
Важной характеристикой движения пространства является множество его неподвижных точек. Здесь могут представиться лишь следующие пять случаев:
У движения неподвижных точек нет (нетождественный параллельный перенос).
Движение имеет лишь одну неподвижную точку (центральная симметрия).
Множество неподвижных точек движения пространства является прямой (поворот вокруг прямой).
Множество неподвижных точек движения пространства является плоскостью (зеркальная симметрия).
Множество неподвижных точек движения пространства является всем пространством (тождественное движение).
Данная классификация очень удобна, так как представляет все виды движения как единую систему.
8.2. Основные теоремы о задании движений пространства.
Теорема 1. Пусть в пространстве даны два равных треугольника ABC и A’B’C’. Тогда существуют два и только два таких движения пространства, которые переводят A в A’, B в B’, C в C’. Каждое из этих движений получается из другого с помощью композиции его с отражением в плоскости A’B’C’.
Теорема 2. Пусть в пространстве заданы два равных тетраэдра ABCD и A’B’C’D’. Тогда существует единственное движение пространства j, такое, что j (A) = A’, j (B) = B’, j (C) = C’, j (D) = D’.
9. Два рода движений.
Следует также знать, что все движения подразделяются на два рода в зависимости от того, непрерывны они или нет. Для лучшего понимания сущности этого разделения введу понятие базиса и его ориентации.
9.1. Базисы и их ориентация.
Базисом в пространстве называется любая тройка векторов, непараллельных одновременно никакой плоскости.
Тройка базисных векторов называется правой (левой), если эти векторы, отложенные от одной точки, располагаются так, как расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки.
Если имеются две правые (левые) тройки векторов, говорят, что эти тройки ориентированы одинаково. Если одна тройка является правой, а вторая - левой, то они ориентированы противоположно.
9.2. Два рода движения.
Движения первого рода - такие движения, которые сохраняют ориентацию базисов некоей фигуры. Они могут быть реализованы непрерывными движениями.
Движения второго рода - такие движения, которые изменяют ориентацию базисов на противоположную. Они не могут быть реализованы непрерывными движениями.
Примерами движений первого рода являются перенос и поворот вокруг прямой, а движениями второго рода - центральная и зеркальная симметрии.
Композицией любого числа движений первого рода является движение первого рода.
Композиция четного числа движений второго рода есть движение 1 рода, а композиция нечетного числа движений 2 рода - движение 2 рода.
10. Некоторые распространенные композиции.
Рассмотрим теперь некоторые комбинации движений, используемые достаточно часто, но не уделяя им особого внимания.
10.1. Композиции отражений в плоскости.
Теорема 1. Движение пространства первого рода представимо в виде композиции двух или четырех отражений в плоскости.
Движение пространства второго вида есть либо отражение в плоскости, либо представимо в виде композиции трех отражений в плоскости.
Отсюда мы можем объяснить уже известные нам движения так:
Композиция отражения в 2 параллельных плоскостях есть параллельный перенос.
Композиция отражения в 2 пересекающихся плоскостях есть поворот вокруг прямой пересечения этих плоскостей.
Центральная симметрия относительно данной точки является композицией 3 отражений относительно любых 3 взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся в этой точке.
10.2. Винтовые движения.
Определение. Винтовым движением называется композиция поворота и переноса на вектор, параллельный оси поворота. Представление о таком движении дает ввинчивающийся или вывинчивающийся винт.
Теорема 2. Любое движение пространства первого рода - винтовое движение (в частности поворот вокруг прямой или перенос).
10.3. Зеркальный поворот.
Определение. Зеркальным поворотом вокруг оси a на угол j называется композиция поворота вокруг оси a на угол j и отражения в плоскости, перпендикулярной оси поворота.
Теорема 3. Любое движение пространства второго рода, имеющее неподвижную точку, является зеркальным поворотом, который, в частности, может быть центральной или зеркальной симметрией.
10.4. Скользящие отражения.
Определение. Скользящим отражением называется композиция отражения в некоей плоскости и переноса на вектор, параллельный этой плоскости.
Теорема 4. Движение пространства второго рода, не имеющее неподвижных точек, есть скользящее отражение.
Теорема Шаля. Движение плоскости первого рода является либо поворотом, либо параллельным переносом.
Движение плоскости второго рода является скользящим отражением.
Примечание: К реферату прилагаются 7 рисунков, 2 письменных доказательства теорем и решения задач.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !
Реферат составлен и напечатан Николаем Алексеенко в редакторе Word for Windows 6.0.