Реферат по стереометрии
Ученика 11 “В” класса
Алексеенко Николая
Тема :
Движение.
Спасибо за внимание !
29.10.1995 г.
Школа # 1278, кл. 11 “В”.
Движения. Преобразования фигур.
При создании реферата были использованы следующие книги:
1. “Геометрия для 9-10 классов”. А.Д.Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик.
2. “Геометрия”. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.
3. “Математика”. В.А.Гусев, А.Г.Мордкович.
Все рисунки находятся на отдельном листе, приложенном к реферату. Решения задач также на отдельном листе. Доказательства основных теорем, связанных с движением, я также привожу на отдельных листках. В реферате - только определения и классификация.
Движением в геометрии называется отображение, сохраняющее расстояние. Следует разъяснить, что подразумевается под словом “отображение”.
1. Отображения, образы, композиции отображений.
Отображением множества M в множество N называется соответствие каждому элементу из M единственного элемента из N.
Мы будем рассматривать только отображение фигур в пространстве. Никакие другие отображения не рассматриваются, и потому слово “отображение” означает соответствие точкам точек.
О точке X’, соответствующей при данном отображении f точке X, говорят, что она является образом точки X, и пишут X’ = f(X). Множество точек X’, соответствующих точкам фигуры M, при отображении f называется образом фигуры M и обозначается M’ = f(M).
Если образом M является вся фигура N, т.е. f(M) = N, то говорят об отображении фигуры M на фигуру N.
Отображение называется взаимно однозначным, если при этом отображении образы каждых двух различных точек различны.
Пусть у нас есть взаимно однозначное отображение f множества M на N. Тогда каждая точка X’ множества N является образом только одной (единственной) точки X множества M. Поэтому каждой точке X’ Ì N можно поставить в соответствие ту единственную точку X Ì M, образом которой при отображении f является точка X’. Тем самым мы определим отображение множества N на множество M, оно называется обратным для отображения f и обозначается f. Если отображение f имеет обратное, то оно называется обратимым.
Неподвижной точкой отображения j называется такая точка A, что
j(A) = A.
Из данных определений непосредственно следует, что если отображение f обратимо, то обратное ему отображение f также обратимо и (f ) = f. Поэтому отображения f и f называются также взаимно обратными.
Пусть заданы два отображения: отображение f множества M в множество N и отображение g множества N в множество P. Если при отображении f точка
X Ì N перешла в точку X’ = f(X) Ì N, а затем X’ при отображении g перешла в точку X’’ Ì P, то тем самым в результате X перешла в X’’ (рис.1).
В результате получается некоторое отображение h множества M в множество P. Отображение h называется композицией отображения f с последующим отображением g.
Если данное отображение f обратимо, то, применяя его, а потом обратное ему отображение f , вернем, очевидно, все точки в исходное положение, т.е. получим тождественное отображение, такое, которое каждой точке сопоставляет эту же точку.
2. Определение движения.
Движением (или перемещением) фигуры называется такое ее отображение, при котором каждым двум ее точкам A и B соответствуют такие точки A’ и B’, что |A’B’| = |AB|. (рис.2).
Тождественное отображение является одним из частных случаев движения.
Фигура F’ называется равной фигуре F, если она может быть получена из F движением.
3. Общие свойства движения.
Свойство 1 (сохранение прямолинейности).
При движении три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причем точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образами двух других точек (сохраняется порядок их взаимного расположения).
Доказательство. Из планиметрии известно, что три точки A, B, C лежат на прямой тогда и только тогда, когда одна из них, например точка B, лежит между двумя другими - точками A и C, т.е. когда выполняется равенство
|AB| + |BC| = |AC|.
При движении расстояния сохраняются, а значит, соответствующее равенство выполняется и для точек A’, B’, C’:
|A’B’| + |B’C’| = |A’C’|.
Таким образом, точки A’, B’, C’ лежат на одной прямой и именно точка B’ лежит между A’ и C’.
Из данного свойства следуют также еще несколько свойств:
Свойство 2. Образом отрезка при движении является отрезок.
Свойство 3. Образом прямой при движении является прямая, а образом луча - луч.
Свойство 4. При движении образом треугольника является равный ему треугольник, образом плоскости - плоскость, причем параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости, образом полуплоскости - полуплоскость.
Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом пространства - все пространство, образом полупространства - полупространство.
Свойство 6. При движении углы сохраняются, т.е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов.
Сначала я рассмотрю все основные виды движений, а затем сведу их в единую систему.
4. Параллельный перенос.
Определение. Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния (рис.3), т.е. при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X’ и Y’, что
XX’ = YY’.
Основное свойство переноса: Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т.е.
X’Y’ = XY.
Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос.
Из этих утверждений также вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельный перенос.
Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, если указано, в какую точку A’ переходит
данная точка A, то этот перенос задан вектором AA’, и это означает, что все точки
смещаются на один и тот же вектор, т.е. XX’ = AA’ для всех точек Х.
5. Центральная симметрия.
Определение 1. Точки A и A’ называются симметричными относительно точки О, если точки A, A’, O лежат на одной прямой и OX = OX’. Точка О считается симметричной сама себе (относительно О).
Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно.
Как частный случай, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоей точки О. Тогда эта точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура - центрально-симметричной.
Определение 2. Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О.
Основное свойство : Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X’ и Y’, что
X’Y’ = -XY.
Доказательство. Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X’ и Y’. Тогда, как ясно из определения центральной симметрии (рис.4),
OX’ = -OX, OY’ = -OY.
Вместе с тем
XY = OY - OX, X’Y’ = OY’ - OX’.
Поэтому имеем:
X’Y’ = -OY + OX = -XY.
Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия.
Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка А отображается на А’, то центр симметрии - это середина отрезка AA’.
6. Зеркальная симметрия (отражение в плоскости).
Определение 1. Точки A и A’ называются симметричными относительно плоскости a, если отрезок AA’ перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости a считается симметричной самой себе относительно этой плоскости (рис.5).
Две фигуры F и F’ называются симметричными относительно данной плоскости, если они состоят из точек, попарно симметричных относительно этой плоскости, т.е. если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей точка в другой фигуре.
Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости a, а плоскость a - плоскостью симметрии.
Определение 2. Отображение фигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ей относительно данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости (или зеркальной симметрией).
Теорема 1. Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, является движением.
См. Доказательство 1.
Теорема 2. Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является отражением в этой плоскости или тождественным отображением.
Зеркальная симметрия задается указанием одной пары соответствующих точек, не лежащих в плоскости симметрии: плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему.
7. Поворот вокруг прямой.
Для более четкого представления о повороте вокруг прямой следует вспомнить поворот на плоскости около данной точки. Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении (рис.6). Перейдем теперь к повороту в пространстве.