Отрицательное преломление света на границах раздела сред (стр. 3 из 9)
3. Уравнения Максвелла и пространственная дисперсия
3.1 Тензор диэлектрической проницаемости
Макроскопические уравнения Максвелла составляют основу электродинамики сплошных сред [6]. Они выводятся усреднением "микроскопических" электромагнитных полей, зарядов и плотностей тока и должны дополняться так называемыми материальными уравнениями - связями между усредненными полями. Материальные уравнения определяются откликом среды на электромагнитное поле. Следуя Ландау и Лифшицу [6] (см. также [7, 23]), представляется более правильным и удобным использовать подход, основанный на учете пространственной дисперсии, в котором рассматриваются только три макроскопических поля: Е, D, В, а четвертое поле, Н, полагается равным В. В рамках этого подхода результат усреднения всех микроскопических токов включается в определение поля D. Макроскопические уравнения Максвелла для монохроматических плоских волн принимают вид
а связь между компонентами полей D и Е (материальное уравнение) выражается как
В уравнении (9) обобщенный диэлектрический тензор ε(ω,к) зависит от волнового вектора к. Это означает, что учтена пространственная дисперсия, т.е. тот факт, что индукция электрического поля D в данной точке пространства зависит не только от электрического поля Е в этой точке (что соответствовало бы локальному отклику), но также и от электрического поля в некоторой ее окрестности (нелокальный отклик). По существу, тензор ε(ω,к) описывает и электрический, и магнитный отклики среды (второй из них - при естественном учете пространственных производных поля Е). Пространственная дисперсия появляется как добавление к более привычной временной, или частотной, дисперсии, выражающейся в зависимости диэлектрического тензора от ω. Обычно эффекты, связанные с пространственной дисперсией, являются гораздо более слабыми, чем эффекты, связанные с временной дисперсией, но первые могут приводить к качественно новым явлениям, таким, например, как гиротропия или возникновение добавочных электромагнитных волн. Рассмотрение пространственной дисперсии упрощается, если соответствующий параметр ка ~ а/λ мал (здесь а - характерный микроскопический размер или длина свободного пробега заряженных частиц). Малость параметра ка позволяет во многих случаях учитывать только первые члены (линейные и/или квадратичные) в разложении тензора ε(ω,к) по степеням компонент волнового вектора к [6, 7]:
Разные тензоры, стоящие в разложениях (10) и (11), отражают свойства симметрии рассматриваемой системы и удовлетворяют принципу симметрии кинетических коэффициентов Онсагера. В частности, в системе, обладающей центром инверсии, вторые члены разложения (т.е. пропорциональные первой степени к,) исчезают.
Поскольку из уравнений Максвелла (8) сразу следует, что
уравнения (12) и (9), взятые вместе, определяют уравнения дисперсии ω(к) электромагнитных волн в среде.
Усредненную по времени плотность энергии и вектор Пойнтинга в обсуждаемом (E,D, В)-подходе можно найти, рассматривая волновые пакеты [6, 7]. Указанные величины задаются соответственно выражениями
Соотношения (13) и (14) в отсутствие диссипации удовлетворяют закону сохранения энергии. Наличие дополнительного (второго) слагаемого в уравнении (14) [24,25] -результат учета пространственной дисперсии. Этот член играет определяющую роль в появлении волн с отрицательной групповой скоростью.
В дальнейшем мы приведем краткое сравнительное обсуждение (см. раздел 3.2) обоих подходов: (E,D,B)-подхода, учитывающего пространственную дисперсию, и так называемого "симметричного" подхода, основанного на рассмотрении всех четырех полей, Е, D, В, Н. Тем не менее мы отсылаем читателя к книге [26], обзорам [27-29] и недавней статье [8], в которых можно найти обсуждение различных точек зрения, другие аргументы и подробности.
3.2 Изотропная среда с центром инверсии
Если принимается во внимание пространственная дисперсия, то диэлектрический отклик определяется тензорной величиной даже для изотропной системы, поскольку вектор к определяет выделенное направление. Следовательно, для изотропной среды, обладающей центром инверсии (негиротропная среда), общий вид диэлектрического тензора есть [6]
где поперечная ε(ω, к) и продольная ε (ω,к) диэлектрические проницаемости зависят только от модуля волнового вектора к и задают полное описание свойств среды. В соответствии с уравнениями (12) и (9) закон дисперсии ω(к) поперечных (Е _ к) поляритонов можно найти из
а уравнение
определяет дисперсию продольных (Е || к, D = 0, В = 0) волн.
Симметричный подход, в котором используются зависящие только от частоты диэлектрическая проницаемость е(со) и магнитная восприимчивость µ(ω), соответствует пределу к -+ 0 в подходе, основанном на учете пространственной дисперсии [6]:
Легко видеть, что, если в дисперсионном уравнении для поперечных поляритонов (16) положить
то (16) становится тождественным уравнению (3), полученному при описании в терминах ε(ω) и µ(ω), где к2с2/ω2 = n2 = ε(ω)µ(ω). Уже одно это ясно показывает более широкие возможности подхода, основанного на учете пространственной дисперсии, так как он позволяет изучать различные эффекты, связанные с пространственной дисперсией, с точностью даже большей той точности, которая определяется учетом только членов oc/k2 в тензоре εL{ω,k), тогда как ε(ω) и µ(ω)-подход позволяет учесть только указанные в (20) (и то не все) члены. Более того, даже при учете только членов порядка к2применение подхода, основанного на учете пространственной дисперсии, имеет качественные преимущества. Действительно, в рассматриваемой изотропной системе входящий в уравнение (10) тензор отклика aijlmв общем случае задается двумя независимыми параметрами. Эти параметры (а и Ь) могут быть выбраны, например, так, чтобы выполнялось равенство
где еrilобозначает антисимметричный единичный тензор третьего ранга. Запись (21) симметрична и по первой (if), и по второй (1т) паре индексов, вследствие чего продольная и поперечная диэлектрические проницаемости могут быть представлены в виде
Из уравнений (10) и (21) следует, что соответствующее материальное уравнение (9) запишется как
Из уравнений (22) и (23) ясно, что параметр Ъ(оо) определяет, грубо говоря, меру пространственной дисперсии, обусловленной "магнитным откликом" системы: параметр b(ω) связан с магнитной восприимчивостью (см. уравнение (19)) соотношением
В свою очередь, параметр а(ω) определяет меру пространственной дисперсии, связанной с "электрическим откликом". Наличие параметра а(ω) и его зависимость от со невозможно учесть в рамках описания в терминах е(ω) и µ(ω). Оба этих отклика схожим образом влияют на дисперсию поперечных поляритонов (уравнения (22) и (16)), но дисперсия продольных волн зависит только от электрического отклика (уравнения (22) и (17)). Необходимо особо отметить, что поляритоны с отрицательной групповой скоростью и, следовательно, отрицательное преломление могут возникать в системах с µ(ω) = 1 (т.е. с b(ω) = 0), если коэффициент отклика а(ω) обладает соответствующей зависимостью от частоты.
3.3 Связь с микроскопическим описанием
Диэлектрический тензор εij(ω,к) описывает отклик среды на электромагнитное возмущение с произвольными частотами ωи волновыми векторами к. Этот тензор имеет определенные, хорошо известные аналитические свойства и в принципе может быть получен специальными методами из микроскопического описания элементарных возбуждений среды (см., например, работы [7, 23, 30-32], в которых обсуждаются многие важные аспекты этого вопроса). Например, для возмущенного основного состояния системы N заряженных частиц с зарядом е и массой т в объеме Vдиэлектрический тензор определяется следующим микроскопическим выражением [7]:
Входящие в выражение (24) векторы Мn(к) суть матричные элементы возмущения, записанные в декартовых координатах: