Физические основы классической механики (стр. 4 из 6)

Абсолютно твердым телом в механике называют совокупность частиц, взаимное расположение которых остается неизменным во время движения.

Вращательным называют такое движение, при котором все точки тела описывают концентрические окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Положение вращающегося тела может быть определено взятым с соответствующим знаком двугранным углом j между двумя полуплоскостями, проходящими через ось вращения, одна из которых Qнеподвижна относительно С.О., а другая Р связана с телом и вращается вместе о ним (рис. 4.1). Знак j определяют по правилу правого винта. Положение тела в любой момент времени t определяется уравнением

, дающим закон вращательного движения.

Различные точки тела проходят при одинаковом угловом перемещении dj разные линейные перемещения dS, которые связаны соотношением:

(4.1)

где r - расстояние от точки тела до оси вращения.

Поэтому вращательное движение удобно характеризовать не линейными, а угловыми величинами, одинаковыми для всех точек тела.

Угловой скоростью

называют скорость изменения угла попорота:

(4.2)

Угловым ускорением

называют величину, характеризующую быстроту изменения угловой скорости:

(4.3)

С помощью (4.1) можно найти связь

и в с соответствующими линейными величинами и :

(4.4) (4.5)

Угловые скорость и ускорение - векторные величины, направленные вдоль оси вращения. Их направление определяют с помощью правила правого винта. Так, что:

(4.6) (4.7)

Полное ускорение

находится по формуле:

(4.8)

2. Кинетическая энергия вращательного движения. Момент инерции.

Если дело вращается вокруг неподвижной оси, то его кинетическая энергия равна:

(Рис. 4.2.)

Используя формулу (4.4), получим

где

и - расстояние i-частицы тела до оси вращения; - её масса.

Величина, стоящая в скобках, не зависит от скорости движения тела и характеризует инерционные свойства тела во вращательном движении: чем больше эта величина, тем большую энергию надо затратить для достижения данной скорости. Эта величина, характеризующая твердое тело, а также выбранную, ось вращения, называется моментоминерции тала относительно данной оси

. Тогда кинетическую энергию можно записать в виде:

(4.9)

Момент инерции тела вычисляют по формуле:

(4.10)

Для материальной точки, вращающейся вокруг оси, ; для шара, вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр, .Полная кинетическая энергия катящегося тела вычисляется по формуле:

(4.11)

Если известен момент инерции относительно оси, проходя через центр инерции тела

, можно вычислить момент инерция относительно параллельной оси (теорема Штейнера):

, (4.12)

где

- масса тела, - расстояние между осями (Рис. 4.3).

3. Основное уравнение динамики вращательного движения

Рассмотрим цилиндр вращающийся вокруг неподвижной оси (Рис. 4.4) под действием постоянной касательной силы

.За время точка приложения силы переместится на и работа этой силы будет , которая равна приращению кинетической энергии: , т.к. , то

(4.13)

Величину

, равную произведению проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения, на рассотояние до оси вращения (плечо силы ), называют моментом силы относительно оси :

, (4.14)

Тогда вместо (4.13) запишем:

или (4.15)

Эта формула выражает основное уравнение динамики вращательного движения: момент силы относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно этой оси на угловое ускорение. Роль силы при вращательном движении играет, момент силы, массы - момент инерции. Момент силы - векторная величина, направленная вдоль оси вращения. Его направление определяется правилом правого винта.

4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

При вращательном движении точки количественной мерой её движения является момент импульса точки относительно оси, который определяется по формуле:

, (4.16)

где

- радиус окружности, по которой движется точка; - её имульс

Момент импульса вращающегося тала равен сумме моментов отдельных его частиц:

Если ось вращения неподвижна, то момент импульса вращающегося тела можно найти так:

, (4.17)

где

и - масса и радиус вращения точки, - момент

инерции всего тела относительно выбранной оси вращения.

Используя эту формулу, основное уравнение вращательного движения можно записать в виде:

, (4.18)

Если на вращающееся тело не действуют внешние силы или их результирующий момент равен нулю, то момент импульса тела относительно оси вращения есть величина постоянная. Из (4.18) при

:

и (4.19)

В изолированной системе полный момент импульса есть величина постоянная. Это есть закон сохранения момента импульса.

Лекция 7	Основы релятивистской механики. Постулаты специальной теории относительности. Преобразование Лоренца.
Относительность длин и промежутка времени. Преобразование скоростей и ускорений в релятивистской кинематике. Понятие о релятивистской динамике. Закон взаимосвязи массы и энергии.

I. Принцип относительности