Мощности гармонических колебаний в электрических цепях (стр. 1 из 3)
Академия России
Кафедра Физики
Лекция: "Мощности гармонических колебаний в ЭЦ"
Орел-2009
Мгновенная, средняя и полная мощности ГК
Пусть в ЭЦ под воздействием гармонического напряжения:
,возникает гармонический ток:
.При согласном выборе направлений отсчета напряжения и тока мгновенная мощность в этой цепи определяется выражением:
.Если в этом равенстве заменить произведение тригонометрических функций их суммой, то из выражения:
,следует, что в режиме ГК мгновенная мощность потребляемая цепью, содержит постоянную составляющую, относительно которой она претерпевает периодические колебания с частотой 2w.
Положительным значением мгновенной мощности соответствует потребление цепью электрической энергии. Отрицательные же ее значения свидетельствуют о том, что в данный момент цепь не потребляет, а отдает электрическую энергию. В ЭЦ содержащих реактивные (пассивные) элементы это возможно за счет энергии, запасенной в магнитном (L) и (или) электрических (С) полях данных элементов на протяжении предшествующей части периода колебаний, когда значения мгновенной мощности были положительны. В ТЭЦ широко используется понятия средней или активной мощности. Применительно к рассматриваемому режиму ГК это постоянная составляющая последнего выражения:
.Здесь
представляет собой разность фаз колебаний напряжения и тока. Таким образом, средняя мощность пропорциональна амплитуде напряжения и тока в ЭЦ и косинуса сдвига фазы между ними.В пассивной ЭЦ средняя мощность не может принимать отрицательных значений, иначе нарушался бы принцип сохранения энергии
. Разность фаз гармонического напряжения и тока в цепи не может выходить за пределы: 
, т.к 
и 
положительны.Для периодических, и в частности, ГК средняя мощность определяется как отношение энергии за период к величине этого периода:
.Средняя мощность относится к числу усредненных, т.е. статистических характеристик колебательных процессов. В ЭЦ к ним же относятся и среднеквадратические значения напряжений и токов.
; 
.Подставляя в эти выражения гармонические напряжения и ток, находим:
; 
.U и I – называют действующими (эффективными) значениями напряжения и тока ГК.
Если перейти от амплитуд колебаний к их действующим значениям, то для средней мощности потребляемой пассивным двухполюсником находится типовое выражение:
.Действующее значение напряжения и тока на входе двухполюсника связаны зависимостью:
поэтому, 
Т. к.
и 
где R и G активные составляющие соответственно сопротивления и проводимости двухполюсника, то 
.В этих выражениях квадрат действующего значения тока
можно представить как произведение комплексного тока 
на сопряженную с ним комплексную величину 
.Тогда
, т.к по закону Ома 
, то 
.Следовательно, средняя мощность, потребляемая двухполюсником, равна вещественной части произведения комплексного напряжения на входе двухполюсника и комплексной величины, сопряженной с комплексным током, проходящим через входные зажимы двухполюсника.
Пример: определить среднюю мощность ГК при
и 
.Найдем комплексно сопряженный ток
, тогда 
если действующее значение напряжения выбрано в вольтах, а тока – в амперах.Рассмотрим произведение вида:
Сумма
получило название комплексной мощности, а произведение 
– мощность в ЭЦ гармонического тока в комплексной форме.Действительная часть комплексной мощности
– средняя (активная) мощность.Мнимая часть комплексной мощности
– реактивная мощность.Произведение действующих значений напряжения и тока – называется полной или кажущейся мощностью
: 
.Полная и реактивная мощности оцениваются в вольт - амперах.
Реактивная мощность может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Для элемента индуктивности
реактивная мощность положительна. Она характеризует максимальное значение энергии, запасаемой в индуктивности при гармоническом токе с амплитудой 
: 
.Для элемента емкости, реактивная мощность отрицательна. Связь полной, средней и реактивной мощностей определяется соотношением
; 
.Значения средней мощности и полной мощности равны, если
т.е. когда сопротивление двухполюсника чисто активно (резистивно). В общем же случае 
т.к 
.Проблема повышения значения “косинуса Фu” (коэффициент мощности) является одной из важнейших проблем энергетики. Это и понятно, т.к если
, то необходимую полезную работу можно получить от приемника энергии при наименьшем токе в соединительных проводах, т.е. при данных значениях U и I от источника в нагрузку поступает необходимая средняя мощность.Поскольку комплексные напряжения и токи всегда удовлетворяют законам Кирхгофа, то к ним применима теорема Теледжена, согласно которой:
*
, и как следствие 
и 
.Здесь можно ввести понятие условий баланса мощностей. Эти условия могут использоваться для проверки решений задач анализа режима ГК символическим методом.
Вывод: определение необходимых значений мощностей ГК в ЭЦ позволяет осуществить инженерный анализ результатов расчета на их правильность выполнения и оценить энергетическую эффективность всей ЭЦ или ее участка.
2. Условия передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке
Пусть дан источник ГК (генератор) с параметрами:
– комплексное задающее напряжение, 
– внутреннее сопротивление источника.Найдем такие значения активной R и реактивной Х составляющей составляющих комплексного сопротивления пассивной нагрузки генератора
, при которой в ней выделяется максимальная средняя мощность (рисунок 1).