Рассеяние рентгеновских лучей на молекулах фуллерена (стр. 5 из 11)

Воспользовавшись методом комплексных амплитуд, мы получим соотношение для амплитуды суммарного колебания:

(3.9)

где φ0 определяется соотношением (3.3).

После того, как была найдена амплитуда суммарного колебания, можно найти интенсивность суммарного колебания, как квадрат амплитуды:

(3.10)

Рассмотрим график интенсивности суммарного колебания при разных параметрах. Угол θ изменяется в интервале [0;

] (это видно из рисунка 3.1), длина волны изменяется от 1 до 5.

Рассмотрим частный случай, когда L>>d. Обычно такой случай встречается в экспериментах по рассеянию рентгеновских лучей. В этих экспериментах обычно детектор рассеянного излучения располагается на расстоянии много большим, чем размеры исследуемого образца. В этих случаях в детектор попадают вторичные волны, которые с достаточной точностью можно приближенно полагать плоскими. При этом волновые векторы отдельных волн вторичных волн, испущенных разными центрами рассеянного излучения, параллельны. Считается, что при этом выполняются условия дифракции Фраунгофера.

2.3.2. Дифракция рентгеновских лучей

Дифракция рентгеновских лучей - процесс, возникающий при упругом рассеянии рентгеновского излучения и состоящий в появлении отклоненных (дифрагированных) лучей, распространяющихся под определенными углами к первичному пучку. Дифракция рентгеновских лучей обусловлена пространственной когерентностью вторичных волн, которые возникают при рассеянии первичного излучения на электронах, входящих в состав атомов. В некоторых направлениях, определяемых соотношением между длиной волны излучения и межатомными расстояниями в веществе, вторичные волны складываются, находясь в одинаковой фазе, в результате чего создается интенсивный дифракционный луч. Другими словами, под действием электромагнитного поля падающей волны заряженные частицы, имеющиеся в каждом атоме, становятся источниками вторичных (рассеянных) сферических волн. Отдельные вторичные волны интерферируют между собой, образуя как усиленные, так и ослабленные пучки излучения, распространяющиеся в разных направлениях.

Можно считать, что рассеяние не сопровождается дисперсией, и, следовательно, частота рассеянных волн совпадает с частотой первичной волны. Если рассеяние является упругим, то не изменяется также и модуль волнового вектора.

Рассмотрим результат интерференции вторичных волн в точке, удаленной от всех рассеивающих центров на расстояние много большее, чем межатомные расстояния в исследуемом (облучаемом) образце. Пусть в этой точке находится детектор и складываются колебания, вызванные пришедшими в эту точку рассеянными волнами. Так как расстояние от рассеивателя до детектора значительно превышает длину волны рассеянного излучения, то участки вторичных волн, приходящих в детектор, можно с достаточной степенью точности считать плоскими, а их волновые векторы - параллельными. Таким образом, физическую картину рассеяния рентгеновских лучей по аналогии с оптикой можно назвать дифракцией Фраунгофера.

В зависимости от угла рассеяния q (угла между волновым вектором первичной волны и вектором, соединяющим кристалл и детектор), амплитуда суммарного колебания будет достигать минимума или максимума. Интенсивность излучения, регистрируемая детектором, пропорциональна квадрату суммарной амплитуды. Следовательно, интенсивность зависит от направления распространения рассеянных волн, достигающих детектора, от амплитуды и длины волны первичного излучения, от числа и координат рассеивающих центров. Кроме того, амплитуда вторичной волны, образованной отдельным атомом, (а значит и суммарная интенсивность) определяется атомным фактором - убывающей функцией угла рассеяния q, зависящей от электронной плотности атомов.

2.3.3. Интерференционная картина от n источников расположенных на одной прямой

Рассмотрим распределение интенсивности излучения, создаваемого n когерентными точечными источниками монохроматических волн. Геометрия системы, состоящей из n когерентных точечных источников монохроматических волн и детектора, который может перемещаться вдоль прямой линии, представлена на рис.5.1.

Рис.3.3. Геометрия системы n источников.

Цифрами 1,2,3,4,…,n обозначены положения точечных источников.

Ось X направлена вдоль линии перемещения детектора. Где Z₁,Z₂, Z₃, Z₄,…, Z_n, – расстояния от первого, второго, третьего, …, энного источников до приёмника, вдоль оси X происходит сложение интенсивностей колебаний, L – расстояние от оси X до линии соединяющей источники.

Для того чтобы найти интенсивность n источников, используем соотношение (3.10). Амплитуды сложим векторным способом. Тогда для n источников функция (3.10) примет вид:

(3.11)

Это уравнение расчета интенсивности излучения n источников, где

(3.12)

при

(3.13)

Здесь

может быть вычислено следующим образом:

(3.14)

Подставив (3.12), (3.13) и (3.14) в (3.11) получим:

(3.15)

2.3.4. Атомный фактор

Атомным фактором называется величина, характеризирующая способность изолированного атома или иона когерентно рассеивать рентгеновское излучение, электроны или нейтроны (соответственно различают рентгеновский, электронный или нейтронный атомный фактор). Атомный фактор определяет интенсивность излучения, рассеянного атомом в определенном направлении.

Рассмотрим взаимодействие рентгеновской волны с отдельным атомом. Электрическое поле волны порождает периодические силы, действующие на все заряженные частицы, входящие в состав атома – на электроны и на ядро. Ускорение, которое получает частица, обратно пропорционально массе частицы. Каждая частица становится источником вторичной (т.е. рассеянной) волны. Интенсивность излучения пропорциональна квадрату ускорения, поэтому рассеянное излучение порождается практически только электронами, поэтому рентгеновский атомный фактор зависит от распределения в атоме электронной плотности.

Электроны рассредоточены внутри атома, а размер атома соизмерим с длиной рентгеновской волны. Поэтому вторичные волны, созданные отдельными электронами атома, обладают разностью фаз. Этот фазовый сдвиг Dφ зависит от направления распространения рассеянной волны относительно направления волнового вектора первичной волны. Следовательно, амплитуда излучения, рассеянного атомом, зависит от угла рассеяния.

Атомный фактор f (или функция атомного рассеяния) определяется как отношение амплитуды волны, рассеянной одним атомом к амплитуде волны, рассеянной одним свободным электроном. Величина атомного фактора зависит от угла рассеяния q и длины волны излучения l. В качестве аргумента функции атомного фактора в рентгеноструктурных исследованиях используют величину g = sin(q) / l.

Если полярный угол q = 0, то значение атомного фактора равно количеству электронов в атоме (иначе говоря, атомному номеру химического элемента в таблице Менделеева). С ростом угла рассеяния q атомный фактор f(g) монотонно убывает до нуля. Типичный вид функции атомного рассеяния приведен на рис.3.4.

Рис.3.4

3.5. Дифракция Фраунгофера рентгеновских лучей на атомах кристалла

Пусть на кристаллический образец направлен поток рентгеновских лучей с определенной длиной волны l. В физических исследованиях (при расшифровке атомной структуры рентгенодифракционным методом, рентгеноспектральном элементном анализе и т.д.) обычно реализуется геометрическая схема эксперимента со следующими геометрическими особенностями (см. рис.1).

Рис.3.5. Геометрическая схема облучения маленького образца узким пучком рентгеновских лучей.

1 – генератор рентгеновских лучей (например, рентгеновская трубка), 2 – коллиматор, 3 – исследуемый образец. Штриховые стрелки изображают потоки рентгеновских лучей.

С помощью коллиматора формируется узкий пучок рентгеновских лучей. Облучаемый кристаллический образец располагается от выхода из коллиматора на расстоянии значительно больше размера образца. В рентгеноструктурных исследованиях образцы подготавливаются размером меньшим поперечного сечения пучка. Как говорят, образец «купается» в пучке падающих рентгеновских лучей (см. выноску на рис.3.5).

Тогда можно с хорошей точностью полагать, на исследуемый образец падает плоская электромагнитная волна с длиной l. Иначе говоря, все атомы образца подвергаются воздействию когерентных плоских волн с параллельными волновыми векторами k0.

Рентгеновские лучи представляют собой электромагнитные волны, которые являются поперечными. Если ось координат Z направить вдоль волнового вектора k0, то компоненты электрического и магнитного полей плоской электромагнитной волны могут быть записаны в следующем виде: