Подстановка выражений (4.5) и (4.6) в уравнение (4.2) приводит к выводу, что функция (4.4) удовлетворяет волновому уравнению, если положить υ=ω/k.
§ 5. Скорость упругих волн в твердой среде
Пусть в направлении оси х распространяется продольная плоская волна. Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S и высотой Δx (рис. 5.1). Смещения ξ частиц с разными хв каждый момент времени оказываются различными (см. рис. 1.3, на котором изображено ξ в функции от x). Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещениеξ, то смещение основания с координатой x+Δxбудет ξ+Δξ. Поэтому рассматриваемый объем деформируется – он получает удлинение (алгебраическая величина,соответствует сжатию цилиндра) или относительное удлинение. Величина дает среднюю деформацию цилиндра. Вследствие того, что ξменяется с изменением х не по линейному закону, истинная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодинаковой. Чтобы получить деформацию ε в сечении х, нужно устремить Δx к нулю. Таким образом,
(символ частной производной взят потому, что зависит не толькоот x, но и отt).
Наличие деформации растяжения свидетельствует о существовании нормального напряжения σ, при малых деформациях пропорционального величине деформации. Согласно формуле (14.6) 1-го тома 
(E – модуль Юнга среды). Отметим, что относительная деформация , аследовательно, и напряжение σ в фиксированный момент времени зависят от х (рис. 5.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем положительные и отрицательные деформации (т. е. растяжения и, сжатия) чередуются друг с другом. В соответствии с этим, как ужеотмечалось в §1. продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сгущений среды.
Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис.5.1, и напишем для него уравнение движения. Полагая Δxочень малым, проекцию ускорения на ось x можно считать для всех точек цилиндра одинаковой и равной . Масса цилиндра равна ρSΔx, где ρ – плотность недеформированной среды. Проекция на осьx силы, действующей на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра S на разность нормальных напряжений в сечениях (x+Δx+ξ+Δξ) и (x+ξ):
Значение производной в сечении x+δможно для малых δ представить с большой точностью в виде