(см. (6.6)). Выражение (6.11), так же как и (6.6), справедливо для волны любого вида (сферической, затухающей и т. д.).
Отметим, что, когда говорят об интенсивности волны в данной точке, то имеют в виду среднее по времени значение плотности потока энергии, переносимой волной.
Зная j во всех точках произвольной поверхности S, можно вычислить поток энергии через эту поверхность. С этой целью разобьем поверхность на элементарные участкиdS. За время dt через площадку dS пройдет энергия dW, заключенная в изображенном на рис. 6.2 косом цилиндре. Объем этого цилиндра равенdV = υ dt dS cosφ . В нем содержится энергияdW = w dV = w υ dtdS cos φ (w — мгновенное значение плотности энергии в том месте, где расположена площадкаdS). Приняв во внимание, что
w υ dS cos φ = jdS cos φ =jdS
(dS = n dS; см. рис. 6.2), можно написать:dW =jdS dt. Отсюда для потока энергии dΦ через площадку dS получается формула
(ср. с формулой (11.5)). Полный поток энергии через поверхность равен сумме элементарных потоков (6.12):В соответствии с (11.7) можно сказать, что поток энергии равен потоку вектора j через поверхность S.
Заменив в формуле (6.13) вектор j его средним по времени значением, получим среднее значение Φ:Вычислим среднее значение потока энергии через произвольную волновую поверхность незатухающей сферической волны. В каждой точке этой поверхности векторы j и dS совпадают по направлению. Кроме того, модуль вектора j для всех точек поверхности одинаков. Следовательно,
(r — радиус волновой поверхности). Согласно (6.11) . Таким образом, 
(ar– амплитуда волны на расстоянии r от источника). Поскольку энергия волны не поглощается средой, средний поток энергии через сферу любого радиуса должен иметь одинаковое значение, т. е. должно выполняться условие
Отсюда следует, что амплитуда а, незатухающей сферической волны обратно пропорциональна расстоянию r от источника волны (см. формулу (5.10)). Соответственно средняя плотность потока энергии обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника.В случае плоской затухающей волны амплитуда убывает с расстоянием по закону a = = a0 e-γx (см. (2.9)). Соответственно средняяплотность потока энергии (т. е. интенсивность волны) убывает по
Здесь c=2γ – величина, называемая коэффициентом поглощения волны. Она имеет размерность, обратную размерности длины. Легко сообразить, что величина, обратнаяc, равна расстоянию, на котором интенсивность волны уменьшается в е раз.
§ 7. Стоячие волны
Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммойколебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.
В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.
Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, образуют стоячую волну.
Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:
x1 = a cos ( wt − kx +a1 ), x2 = a cos ( wt + kx +a2 ).
Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получимУравнение (7.1) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем начало отсчета х так, чтобы разность α1– α2 стала равной нулю, а начало отсчетаt — так, чтобы оказалась равной нулю сумма α1– α2. Кроме того, заменим волновое числоk егозначением 2π/λ. Тогда уравнение (7.1) примет вид
Из (7.2) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда зависит от х:
В точках, координаты которых удовлетворяют условию2πx/λ = ±nπ (nÎ N) – (3.3), амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из (3.3) получаются значения координат пучностей:
Следует иметь в виду, что пучность представляет собой не одну единственную точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты x, определяемые формулой (7.4).
В точках, координаты которых удовлетворяют условию
амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения
Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты х, определяемые формулой (7.5).
Из формул (7.4) и (7.5) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равноl/2. Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.Обратимся снова к уравнению (7.2). Множитель при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на p. Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно. На рис. 7.1 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия. Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц.
Продифференцировав уравнение (7.2) один раз поt, а другой раз по х, найдем выражения для скорости частиц и для деформации среды e: | |
Уравнение (7.6) описывает стоячую волну скорости, а (7.7) – стоячую волну деформации.
На рис. 7.2 сопоставлены «моментальные фотографии» смещения, скорости и деформации для моментов времени 0 и T/4.Из графиков видно, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пучностями смещения; узлы же и 
пучности деформации совпадают соответственно с пучностями и узлами смещения. В то время какx и ε достигают максимальных значений, обращается в нуль, и наоборот. Соответственно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциальную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где находятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.