Определение момента инерции тела и проверка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ.
Цель работы: изучить метод крутильных колебаний (трифилярный подвес) и применить его для определения момента инерции тела и проверки теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Приборы и принадлежности: установка, секундомер, штангенциркуль, линейка, образцы для измерений.
ТЕОРИЯ МЕТОДА И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.
Установка для определения момента инерции тела, которая применяется в данной работе, называется трифилярным подвесом. Состоит она из диска (платформы) (рис.1), горизонтально подвешенной на трех симметрично расположенных нитях 2. Вверху нити прикреплены к основанию 3, имеющему три симметрично расположенных выступа. Основание с помощью болта 5 и упругой пластины 6 соединено с кронштейном 4.
Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, проходящей через ее середину. При этом центр тяжести платформы перемещается вдоль оси вращения.
Пусть масса платформы m0, вращаясь в некотором направлении, поднялась на высоту h от положения равновесия. Изменение ее потенциальной энергии при этом составит
E1=m0gh(1)
где g– ускорение силы тяжести.
Возвратившись в положение равновесия, платформа будет иметь угловую скорость w0 и кинетическая энергия ее будет
E2= 
I 
(2)
где I – момент инерции платформы относительно оси вращения.
Пренебрегая работой сил трения, закон сохранения механической энергии запишется
I = m0gh(3)
При малой амплитуде колебания платформы будут гармоническими, т.е. зависимость углового смещения bот времени t имеют вид
b=asin 
(4)
где a - амплитуда;
Т – период колебаний.
В свою очередь угловая скорость w= 
или w= 
. Максимальное изменение угловой скорости w0 , соответствующее моменту времени, когда платформа проходит через положение равновесия
w= 
(5)
Из (3) и (5) имеем
mgh= I( 
)²(6)
Найдем h. Пусть l – длина нитей подвеса (рис.2), R – расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r – радиус окружности, на которой лежат точки крепления нитей к основанию.
Из рис.2 видим, что
h=OO1=BC-BC1= 
В свою очередь
Поэтому
При малых углах смещения
; (BC+BC1)=2lучитывая это, будем иметь
(7)тогда из (6) и (7) находим
(8)ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.
Упражнение 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА.
1. Убедиться в том, что платформа расположена горизонтально.
2. Определить R,r,l (масса платформы m0=(1.025±0.0005)кг.), R и r удобно определить из известной геометрической формулы, измерив предварительно с помощью линейки расстояние между точками подвеса двух нитей вверху и внизу.
3. Путем несильного нажатия на край основания 3 (рис.1) сообщить платформе вращательный импульс и при помощи секундомера измерить время 50-70 полных ее колебаний. Опыт повторить 3-5 раз.
4. Найти период Т0 из этих этих колебаний по формуле (8) определить I0– момент инерции платформы. Результаты занести в таблицу 1.
5. Платформу нагрузить исследуемым телом, предварительно определив его массу m. Определить период колебаний T1системы тело-платформа (масса системы – m+m0) и момент инерции системы I1. Величина момента инерции тела найдется как разница I=I1-I0. Опыт повторить 3-5 раз. Результаты измерений занести в таблицу 2.
6. Найти ошибку определения I.
7. Сравнить полученное значение I и I0с теоретическим, вычисленным по формуле момента инерции для данного тела.
Упражнение 2: ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА- ШТЕЙНЕРА (ШТЕЙНЕРА-ЖУРАВСКОГО).
1. Взять два одинаковых тела и в соответствии с упражнением 1 определить их момент инерции 2I2. Для этого, положив тела одно на другое в центре платформы так, чтобы центры масс тел лежали на одной вертикали с центром масс платформы. Момент инерции одного тела относительно проходящей через центр масс оси будет равен I2. Опыт повторить 3-5 раз. Результаты занести в таблицу 3.
2. Расположить тела на некотором расстоянии друг от друга симметрично относительно центра платформы.
3. Определить расстояние a от центра масс из тел до оси вращения и его момент инерции I3. Из опыта найти момент инерции системы из двух тел 2I3. Опыт повторить 3-5 раз. Результаты измерений занести в таблицу 4.
4. Найти I3 по теореме Штейнера
(9)где m – масса тела, при этом для I2, m, a берут значения,
полученные опытным путем.
5. Сравнить значения I3, полученные по формуле (9) и экспериментально.
6. Найти ошибки определения I2и I3.
Таблица 1.
| № п/п | R м | r м | lм | m0 кг | N | t c | T0 c | I0 кг*м² |  кг*м² | DI0 кг*м² |
Таблица 2.
| № п/п | R м | r м | N | t c | T1 c | I+I0 кг*м² | I кг*м² |  кг*м² | DI кг*м² |
Таблица 3.
| № п/п | m кг | (m+m0) кг | N | t c | T c | (2I2+I0) кг*м² | I2 кг*м² |  кг*м² | DI2 кг*м² |
Таблица 4.
| № п/п | m кг | (m+m0) кг | ам | N | t c | T c | (2I3+I0) кг*м² | I3 кг*м² |  кг*м² | DI3кг*м² |
Масса большого цилиндра mб=(842,5±0,5)г.
Масса малого цилиндра mм=(303,15±0,5)г.