Общая гидродинамика (стр. 2 из 3)

(7)

Рассмотрим сначала уравнение (6). Превратим второй поверхностный интеграл в объёмный, для этого основываясь на формуле (3) перепишем его в виде:

и применим к каждому из входящих сюда интегралов вторую интегральную формулу, тогда получим:

(8)

Подставляя в (6) найдём:

(9)

откуда в силу произвольности выбранного объёма следует:

(10)

Это и есть искомое уравнение движения жидкости, выраженное через напряжения.

Обратимся к рассмотрению уравнения (7). Аналогично только что проделанному преобразованию перепишем поверхностный интеграл в виде:

и затем применим вторую интегральную формулу

тогда будем иметь, подставляя в (7):

(11)

По (10) второй сомножитель некоторого произведения, входящего под знак первого интеграла обращается в нуль, остаётся:

откуда в силу произвольности t следует:

(12)

Возьмём проекцию этого равенства на первую ось

:

откуда следует:

Аналогичным путём, проектируя (12) на

и , найдём, что вообще:

(13)

Таким образом равенство нулю главного момента приводит к условиям симметричности тензора напряжений.

Обычно в теории упругости (и сопротивления материалов) составляющие напряжений с разными индексами

при называют касательными напряжениями, так как они лежат в плоскости площадки, к которой приложено полное напряжение. Составляющие с одинаковыми индексами называют нормальными напряжениями. Полученное равенство (13) представляет ничто иное, как известную в сопротивлении материалов теорему взаимности касательных напряжений.

Итак, из двух некоторых условий равновесия жидкого объёма по принципу Даламбера, получено только одно векторное уравнение движения жидкости (10). Имея в виду дальнейшие его преобразования, перепишем ещё его в проекциях:

(14)

В этой системе, при заданных объёмных силах

имеем три неизвестных проекции скорости , , и шесть неизвестных проекций напряжений (по условию симметричности тензора напряжений), кроме того мы не знаем ещё как изменяется плотность r жидкости в зависимости от изменения времени, скоростей и др. Таким образом, перед нами стоит совершенно неопределённая задача, что и можно было ожидать, так как мы написали только уравнения для твёрдого объёма, совершенно не принимая во внимание его деформации. Естественно, что мы не сможем обойтись без дополнительных физических предположений. Делая ряд физических гипотез о внутренних силах и деформациях жидкого объёма, мы в дальнейшем доопределим нашу задачу.

Прежде всего мы сделаем совершенно необходимое предположение о сохранении массы движущегося объёма жидкости t, так как без этого предположения мы не сможем пользоваться обычными уравнениями динамики постоянной массы (и ограничиваемся таким образом случаем скоростей значительно меньших скорости света). Это предположение приводит нас к условию:

(15)

Условие это может быть переписано так:

Вспоминая из кинематики жидкости, что скорость объёмного расширения

равна произведению , найдём:

Отсюда опять, по условию произвольности выбора объёма t, получим:

(16)

Это и есть условие сохранения массы или, как его ещё называют, уравнение непрерывности.

Этому уравнению можно придать другие различные формы. Например, замечая, что:

перепишем уравнение непрерывности так:

или по известной формуле векторного анализа:

(17)

Если поле плотности стационарно, то

и уравнение (17) переходит в такое:

Наконец, в случае жидкости с постоянной плотностью (несжимаемая жидкость), получаем уравнение непрерывности в виде:

(18)

3. Главные напряжения в жидкости. Среднее давление. Обобщённый закон Гука. Связь между тензором напряжений и тензором деформации.

Дальнейшие дополнительные физические допущения будут касаться связи между напряжениями в жидкости и деформациями в ней. Чтобы сделать это допущение наиболее физически наглядным, необходимо сначала свести тензор напряжений и тензор деформаций к такому простейшему виду, при котором число компонент сводится к наименьшему числу.

Для этого необходимо перейти от произвольных координат к главным осям тензоров.

Обозначим главные оси тензора напряжений

, , и введём следующую таблицу косинусов между произвольными осями , , и этими главными осями:

Тогда, по доказанному свойству тензорности напряжений, можно выразить все компоненты тензора напряжений

через три главных компонента, которые мы обозначим , , . Выражая старые компоненты через новые, получим:

(19)

где при условии перехода к главным осям:

(20)

поэтому окончательно получаем:

(21)

Такова зависимость компонент тензора напряжений от трёх главных компонент

. Эти главные компоненты называются главными напряжениями. Отсутствие напряжений с разными индексами, то есть касательных напряжений показывает, что жидкие площадки, перпендикулярные к главным осям тензора напряжений, подвергаются действию только нормальных напряжений.

Рассмотрим линейный инвариант тензора напряжений:

(22)

Деля обе части на число 3, можно высказать следующее положение: “Среднее арифметическое из трёх нормальных напряжений, приложенных к трём взаимно перпендикулярным площадкам, в данной точке есть величина одинаковая для любых направлений этих площадок в пространстве; в частности эта величина равна среднему арифметическому трёх главных направлений”.

В дальнейшем эту величину будем называть средним давлением в данной точке вязкой жидкости, или, попросту, давлением и обозначать “

”. Знак минус ставится здесь условно, и показывает что в жидкости всегда имеем дело с давлением (а не растяжением), направленным внутрь объёма. Итак, имеем: