Теплопроводность твердых тел (стр. 2 из 3)

Тепловые колебания в кристаллической решетки являются термическим возбуждением фононов. Для определения средней энергии кристаллической решетки нужно найти среднюю энергию гармонического осциллятора:

- энергия квантового гармонического осциллятора (3.3).

Если учесть квантовую природу гармонического осцилятора, то для тела, которое состоит из N атомов можно записать его внутреннюю энергию, где на каждую степень Володи атома будет приходится энергия равная средней энергии квантового осцилятора:

(3.4)

Наиболее простой моделью для анализа температурной зависимости теплопроводности является модель газа фононов (МГФ). МГФ оперирует с такими понятиями, как средняя длина свободного пробега фонона

_ph, эффективное время релаксации = _ph/v_s, обратной величиной которого, 1/ , является средняя частота столкновений фононов. Величина теплопроводности в модели фононного газа равна:

_lat = 1/3 _phv_sC_v = 1/3 v_s² C_v, (3.5)

где С_v удельная теплоемкость, связанная с колебаниями решетки. Величины С_v,

или _ph определяют температурную зависимость решеточной теплопроводности. Зависимость от Т оказалась более сложной. Рассмотрим два случая.

а) Т >>

_D. Следовательно, длина свободного пробега фонона обратно пропорциональна температуре. Это согласуется с экспериментом. Обычно, _lat ~ 1/T^x, где х = 1-2. Точная теория _lat(Т) должна учитывать конкуренцию между процессами. б) Т<< _D. В этом случае фононы будут иметь энергию _s(k) k_BT << k_{B D} = _D, т.е. _s << _D и k << k_D. Можно считать, что как до, так и после рассеяния, энергия как отдельного фонона, так и суммарная энергия остаются << _D, волновой вектор << k_D. Следовательно, если в начальный момент система фононов имела некоторый результирующий импульс, то этот импульс будет сохраняться даже в отсутствие градиента температуры, т.е. для совершенного бесконечного ангармонического кристалла при низких температурах теплопроводность бесконечна, точнее она может быть конечной только лишь за счет небольшой вероятности процессов переброса, нарушающих закон сохранения квазиимпульса, и которые уменьшают тепловой поток.
При достижении температуры, где начинаются рост времени релаксации и, соответственно, длины свободного пробега фононов, теплопроводность решетки растет (подтверждается экспериментально). При дальнейшем снижении Т, длина свободного пробега становится сопоставимой со средней длиной свободного пробега, характеризующей рассеяние фононов на дефектах решетки, примесях или даже на торцах конечного образца. Для диэлектриков при очень низких температурах, Т<T_max, теплопроводность ~ T³ , затем T_max < Т < _D ~ exp(T₀/T), далее темп уменьшения спадает и заменяется медленным спаданием ~ 1/T из-за увеличения числа рассеивающих фононов.

ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ.

В металлах значительную роль в процессе теплопроводимости играет электронная теплопроводимость. Она также существует и в полупроводниках, особенно легированных электронодонорными элементами. По величине электронная теплопроводность и фононная теплопроводности в металлах будут равны:

С_эл/С_ф» 0.01 , V_зв» 5 ·10³ м/с, V_т» 10⁶ м/с ,

l_ф» 10^{-9 м, l}_эл» 10^{-8 м,}

К_ф / К_эл» 0.05.

В чистых металлах электронная теплопроводность больше за фононную в 20 раз. В сплавах фононная и электронная теплопроводности приблизительно равны. Например, бериллий Ве с низкой электропроводностью обладает теплопроводностью в 5 раз большей, чем у стали. Ве входит в состав теплопроводящих паст и подложек для мощных усилителей и генераторов.

В результате взаимодействия фононов между собой и с электронами рассеивается энергия. Это взаимодействие интерпретируется как тепловое сопротивление R_T :

(4.1)

где L и S - длина и площадь образца или фрагмента конструкции.

Расчет теплового сопротивления сложной детали проводится по правилам, аналогичным законам Ома.

Коэффициент тепло проводимости для электронного газа в металех имеет значение:

К_эл =

С_эл l_эл V_т , (4.2)

где С_эл – теплоемкость электронного газа, l_эл - длина свободного пробега электрона, V_т - тепловая скорость:

, где m_е - масса электрона.

Особую сложность при использовании формулы (4.2) представляет вычисление величины длинны свободного пробега электрона, поскольку это величина статистическая и зависит от движения других электронов в металле.

Электронная теплопроводность запишется:

(4.3)

, (4.4)

где

.

При температурах выше комнатной для большинства металлов можно сделать следующее допущение

, (4.5)

Формула для электронной теплопроводности принимает вид:

(4.6)

Формула (4.6) совпадает с законом Видемана-Франца.

Таким образом, пользоваться законом Видемана-Франца при расчете теплопроводности металлов можно только при температуре выше температуры Дебая. При температурах ниже температуры Дебая использование закона Видемана-Франца приведет к большим неточностям при вычислении теплопроводности металлов.

Характерный вид кривой зависимости λ(Т) приведен на рисунке 4.1. теоретические и экспериментальные исследования показали, что тепло проводимость кристаллических веществ в области максимума λ(Т) довольно сильно зависит от дефектов кристаллической решетки.

Рис. 4.1. Температурная зависимость коэффициента электронной теплопроводности.

I - Увеличивается тепловая скорость Vт.

II - Cущественно уменьшается длина свободного пробега l_эл из-за роста концентрации фононов в результате электрон-фононного взаимодействия. При Т<< θ_D вероятность рассеивания фононов уменьшается за экспонентой, что приводит к быстрому росту теплопроводности:

.