Оптика и элементы атомной физики (стр. 11 из 19)

Количественной характеристикой теплового излучения служит спектральная плотность энергетической светимости – мощность излучения с единицы площади поверхности тела в интервале частот единичной ширины:

R_n,T =

, где dW - энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени (мощность излучения) с единицы площади поверхности тела в интервале частот от n до n + dn. Единица спектральной плотности энергетической светимости (R_n,T) – джоуль на метр в квадрате (Дж/м²).

Зная спектральную плотность энергетической светимости, можно найти интегральную энергетическую светимость или просто энергетическую светимость тела, просуммировав по всем частотам излучения:

R_T =

.

Способность тел поглощать падающее на них излучение характеризуется спектральной поглощательной способностью:

A_n,T =

,

Показывающей, какая доля энергии, приносимой за единицу времени на единицу площади поверхности тела падающими на неё электромагнитными волнами с частотами от vдо v + dv, поглощается телом. Спектральная поглощательная способность – величина безразмерная. Величины R_v,Tи A_v,Tзависят от природы тела, его температуры.

Тело, способное поглощать полностью при любой температуре всё падающее на него излучение любой частоты, называется чёрным или абсолютно чёрным. Следовательно, спектральная поглощательная способность чёрного тела для всех частот и температур тождественно равна единице (А^ч._v,Tº 1). Абсолютно чёрных тел в природе нет, однако такие тела, как сажа, чёрный бархат и т.д. близки к ним. Идеальной моделью чёрного тела является замкнутая полость с небольшим отверстием - О, внутренняя поверхность которой зачернена. Луч света, попавший внутрь такой полости, испытывает многократные отражения от стенок, в результате чего интенсивность вышедшего излучения оказывается практически равной нулю. Опыт показывает, что при размере отверстия, меньшего 0.1 диаметра самой полости, попадающее в отверстие излучение всех частот полностью поглощается.

Наряду с понятием чёрного тела используют понятие серого тела – тела, поглощательная способность которого меньше единицы, но одинакова для всех частот и зависит только от температуры, материала и состояния поверхности тела (шероховатости). Таким образом, для серого тела А^с_v,T = A_T = const<1.

Исследования теплового излучения сыграло важную роль в создании квантовой теории света, и мы рассмотрим законы, которым оно подчиняется.

§ 20. Закон Кирхгофа.

Опираясь на второй закон термодинамики, где речь идёт о невозможности тепловых процессов, при которых теплота переходила бы самопроизвольно от тел более холодных к телам более нагретым, Кирхгоф установил количественную связь между спектральной плотностью энергетической светимости и спектральной поглощательной способностью тел. Отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела – оно является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры (закон Кирхгофа):

Для чёрного тела А^ч_v,Tº 1, поэтому из закона Кирхгофа вытекает, R_v,T = r_v,T. Таким образом, универсальная функция Кирхгофаr_v,Tесть не что иное, как спектральная плотность энергетической светимости чёрного тела. Следовательно, согласно закону Кирхгофа, для всех тел отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности равно спектральной плотности энергетической светимости чёрного тела при той же температуре и частоте.

Из закона Кирхгофа следует, что спектральная плотность энергетической светимости любого тела в любой области спектра всегда меньше спектральной плотности энергетической светимости чёрного тела (при одинаковых значениях T и v), так как A_v,T < 1 и поэтому R_v,T < r_v,T. Кроме того, если тело при данной температуре Tне поглощает электромагнитные волны в интервале частот от vдо v + dv, то оно их в этом интервале частот и при температуре Tи не излучает, так как при A_v,T = 0 и R_v,T = 0.

Используя закон Кирхгофа, выражение для энергетической светимости тела можно записать в виде:

R_T =

.

Для серого тела:

где

R_e =

энергетическая светимость чёрного тела (зависит только от температуры).

Закон Кирхгофа описывает только тепловое излучение, являясь настолько характерным для него, что может служить критерием для определения природы излучения. Излучение, которое закону Кирхгофа не подчиняется, не является тепловым.

§ 21. Законы излучения чёрного тела (абсолютно чёрного тела).

1. Закон Стефана-Больцмана. Закон Вина. Из закона Кирхгофа следует, что спектральная плотность энергетической светимости чёрного тела является универсальной функцией, поэтому, нахождение её явной зависимости от частоты и температуры является важной задачей теории теплового излучения.

Австрийский физик Й. Стефан, а чуть позже и Л. Больцман решили эту задачу несколько разными методами, но получили одинаковый результат. Они установили зависимость энергетической светимости чёрного тела от температуры. Получился, так называемый, закон Стефана-Больцмана: R_e = sT⁴, т.е. энергетическая светимость чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его термодинамической температуры; s - постоянная Стефана-Больцмана (= 5.67×10^-8 Вт/(м²×K⁴). Закон Стефана-Больцмана, определяя зависимость R_eот температуры, не даёт ответа относительно спектрального состава излучения чёрного тела. Из экспериментальных кривых зависимости функции r(l,T) от длины волны l при различных температурах следует, что распределение энергии в спектре чёрного тела является неравномерным. Все кривые имеют явно выраженный максимум, который по мере повышения температуры смещается в сторону более коротких волн. Площадь, ограниченная кривой зависимости r(l,T) от l и осью абсцисс, пропорциональна энергетической светимости R_eчёрного тела и, следовательно, по закону Стефана-Больцмана, четвёртой степени температуры.

Немецкий физик В.Вин, опираясь на законы термо- и электродинамики, установил зависимость длины волны l_max, соответствующей максимуму функции r(l,T) от температуры T. Согласно закону Вина l_max = b/T, т.е. длина волны l_max, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости r(l,T) чёрного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре, где b – постоянная Вина = 2.9×10^-3 м×К. Данное выражение так и называют – закон смещения Вина, поскольку оно показывает смещение положения максимума функции r(l,T) по мере возрастания температуры. Закон Вина объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектрах всё сильнее преобладает длинноволновое излучение.

Из рассмотренных законов Стефана-Больцмана и Вина следует, что термодинамический подход к решению задачи о нахождении универсальной функции Кирхгофа r(v,T) не дал желаемых результатов, т.е. зависимость r от частоты (или длины волны) и от температуры не была найдена.

2.Формула Рэлея-Джинса. Следующая попытка теоретического вывода зависимости r(v,T) была предпринята английскими учёными Рэлеем и Джинсом, которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы. Эта формула имеет следующий вид:

где kT – есть средняя энергия осциллятора с собственной частотой v.

Как показал опыт, данное выражение согласуется с экспериментом только в области малых частот и больших температур. В области больших частот формула Рэлея-Джинса резко расходится с экспериментом, а также с законом смещения Вина. Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефана-Больцмана из формулы Рэлея-Джинса приводит к абсурду. Действительно, вычисленная с использованием этой формулы энергетическая светимость чёрного тела стремится к ¥.

R_e =

в то время как по закону Стефана-Больцмана R_eпропорциональна четвёртой степени температуры. Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы». Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре чёрного тела.