Оптика и элементы атомной физики (стр. 7 из 19)

1. Прямолинейное распространение света.

Свет распространяется прямолинейно, если нет преград в виде непрозрачных перегородок или, если ему не приходится распространяться сквозь малое отверстие. Факт прямолинейного распространения света можно доказать, пользуясь принципом Гюйгенса-Френеля. Согласно этому принципу, световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, излучаемых псевдоисточниками. Такими источниками могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Обычно в качестве такой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все псевдоисточники действуют синфазно.

Найдём в произвольной точке Mамплитуду световой волны, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, заменим действие источника S действием воображаемых псевдоисточников, расположенных на вспомогательной поверхности F, являющейся поверхностью фронта волны, исходящей из S (поверхность сферы с центром S). Френель разбил волновую поверхность F на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краёв зоны до точки M отличались на l/2, т.е. P₁M - P_oM = P₂M - P₁M = P₃M - P₂M =…= l/2. Подобное разбиение фронта волны можно выполнить, проведя сферические поверхности с центром в точке M. Радиусы этих вспомогательных поверхностей будут: b +

, b + 2 , b + 3 , …. Так как колебания от соседних зон проходят до точки M расстояния, отличающиеся на l/2, то в точку M они приходят в противоположной фазе и при наложении эти колебания будут взаимно уничтожать друг друга. С достаточной степенью точности можно считать, что амплитуда колебания A_mот зоны Френеля m будет равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон - (m - 1) и (m + 1). Тоесть, A_m = (A_m-1 + A_m+1)/2. Мы можем записать, что A = A₁- A₂ + A₃ - A₄ + … = A₁/2 + (A₁/2 - A₂ + A₃/2) + (A₃/2 - A₄+ A₅/2) +… = A1/2, поскольку все выражения в скобках будут равны нулю. Таким образом, амплитуда результирующих колебаний в произвольной точке M определяется как бы действием только половины центральной зоны Френеля. Следовательно, распространение света от Sк Mпроисходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, то есть прямолинейно. Иначе говоря, если соединить прямой линией точечный источник света и произвольную точку M, то можно утверждать, что свет и будет распространяться вдоль этой прямой. Для того, чтобы более детально понять распространение света, используя для этого принцип Гюйгенса-Френеля, рассмотрим дифракцию на круглом отверстии и на небольшом диске.

2. Дифракция Френеля на круглом отверстии.

Представим себе, что сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своём пути непрозрачную перегородку с круглым отверстием. Дифракционную картину можно наблюдать на экране, который параллелен плоскости перегородки и находится от неё на расстоянииb. Разобьём открытую часть волновой поверхности F на зоны Френеля. Если в отверстии помещается нечётное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность света) в точке B будет больше, чем при свободном распространении волны; если чётное, то амплитуда будет равна нулю. Если отверстие открывает одну зону Френеля, то в точке B амплитуда А = А₁, т.е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачной перегородки с отверстием. Интенсивность же света больше в четыре раза! Если отверстие открывает две зоны Френеля, то их действие в точке B практически уничтожат друг друга вследствие интерференции. Таким образом, дифракционная картина от небольшого круглого отверстия вблизи точки B будет иметь вид чередующихся тёмных и светлых колец с центром в точке В. Причём, если m - чётное (число зон Френеля, поместившихся в отверстии), то в центре будет тёмное пятно, а если m - нечётное, то светлое пятно.

3. Дифракция Френеля на диске.

Предположим, что сферическая волна встречает на своём пути диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране. От источника S проводим прямую линию, проходящую через центр диска и соединяющую S и точку В на экране. В данном случае закрытый диском участок волнового фронта необходимо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить, начиная с краёв диска. Пусть диск закрывает mпервых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке В равна:

A = A_m+1 - A_m+2 + A_m+3 - A_m+4 … = A_m+1/2 + (A_m+1/2 - A_m+2 + A_m+3/2) + … илиA = A_m+1/2, таккаквыражения, стоящиевскобкахравнынулю. Следовательно, в точке В всегда (!) наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружён концентрическими тёмными и светлыми кольцами. Интенсивность света убывает от центра к краям. Если увеличивать размер диска, то пятно в центре будет уменьшаться и совсем исчезнет (станет неразличимым).

§ 12. Спираль Корню.

1. Сначала рассмотрим распределение интенсивности в дифракционной картине от одной щели. Причём рассмотрение это будем проводить при помощи фазовых диаграмм. Разделим щель на N очень узких полос, которые будут являться псевдоисточниками световых волн. Пусть ширина полос Dy гораздо меньше длины волны монохроматического света, падающего на щель. Разность фаз для соседних полос:

Db =

, разность хода составляет в данном случае Dy×sinq.

Полная амплитуда на экране, отвечающая произвольному углу q, равна сумме волн из всех полос Dy; все элементарные волны имеют одинаковую амплитудуe_o, но различаются по фазе. Чтобы получить полную амплитуду воспользуемся фазовой диаграммой. В центре экрана, когда Db = 0, поскольку sinq = 0, все волны оказываются в одной фазе, поэтому стрелки (векторы), соответствующие амплитудам е_о, выстраиваются в прямую линию:

их сумма и будет общей амплитудой при q = 0, E = N×e_o. Пусть угол q не будет равен нулю, но будет небольшим. Тогда фазовая диаграмма будет выглядеть следующим образом:

Каждая элементарная волна, в данном случае, отличается от соседней на Db. Соответственно, разность фаз волн от верхнего и нижнего краёв щели будет:

b = N×Db = 2p/l×N×Dy×sinq = 2p/l×D×sinq, где D = N×Dy - полная ширина щели. Хотя дуга имеет длину N×e_o = E_o, амплитуда же представляет собой векторную сумму амплитуд элементарных волн и, поэтому равна хорде. Понятно, что E_q < E_o. Если мы будем увеличивать угол q, то мы рано или поздно приходим к случаю, когда элементарные векторы, соответствующие волнам, исходящим от полос Dy, при сложении образуют замкнутую окружность и, следовательно, сумма их будет равна нулю! Это соответствует первому минимуму. Db×N = 2p = N(2p/l×Dy×sinq) или 1 = (N/l)×Dy×sinq, или sinq = l/D.(условие первого минимума). При ещё больших углах q цепочка стрелок ещё больше закручивается на угол, превышающий 360°.

2. Пусть на пути световой волны расположена полуплоскость с прямолинейным краем. Пусть на расстоянии b за полуплоскостью расположен параллельный ей экран. Вблизи края полуплоскости опустим перпендикуляр на экран, в точку P. Разобьём волновую поверхность вблизи края полуплоскости на зоны, которые будут иметь вид очень узких прямоугольных полос, параллельных краю полуплоскости. Ширину зон выберем так, чтобы расстояния от точки P до краёв любой зоны отличались на одинаковую величину D. При этом условии колебания, создаваемые в точке P соседними зонами, будут отличаться по фазе на постоянную величину. Зонам, расположенным справа от точки P, припишем номера 1,2,3 и т.д. (m), а расположенным слева - номера 1',2',3', и т.д. (m'). Зоны с номерами mи m' имеют одинаковую ширину и расположены относительно точки Pсимметрично. Поэтому создаваемые ими в Pколебания совпадают по амплитуде и по фазе. Чтобы установить зависимость амплитуды от номера зоны m, оценим площади зон. Из рис. видно, что суммарная ширина первых mзон равна:

d₁ + d₂ + d₃ +…+ d_m =

Поскольку D<<b, то квадратичным членом под корнем можно пренебречь и тогда:

d₁ + d₂ + d₃+…+ d_m =

Если m = 1, то d₁=

Следовательно, d₁ + d₂ + …+ d_m = d₁ Отсюда d_m = d₁( ). Расчёт по этой формуле даёт, что