Теоретическая механика (стр. 4 из 6)
Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях
nb определяется только одной проекцией 
.Ускорение точки
По определению ускорение характеризует изменение скорости, т.е. скорость изменения скорости.
Ускорения точки в векторной системе отсчета
На основании свойства производной
, (2.5 )Вектор скорости может изменяться по модулю и направлению. Для определения приращения вектора
совместим начала векторов 
(рис.2.6). Вектор ускорения направлен по линии приращения вектора скорости, т. е. В сторону искривления траектории. 
Рис.2.6
Ускорение точки в координатной системе отсчета
Ускорение изменения координат точки равно производной по времени от скоростей изменения этих координат
ax=
; ay= 
; az= 
.Полное ускорение в прямоугольной системе координат будет определяться выражением
а =
, (2.6)Направляющие косинусы вектора ускорения
.Ускорение точки в естественной системе отсчета
Приращение вектора скорости
(рис.2.7) можно разложить на составляющие, параллельные осям естественной системы координат 
, (2.7)Разделив левую и правую части равенства (2.7 ) на dt, получим,
, (2.8)где:
- тангенциальное ускорение, (2.9) 
- нормальное ускорение, (вывод см .[1], п.43)где R - радиус кривизны траектории в окрестности точки
 |
Рис. 2.7
2.3. Кинематика твердого тела
В отличие от кинематики точки в кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
- задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
- определение кинематических характеристик точек тела.
Способы задания и определения кинематических характеристик зависят от типов движения тел.
В настоящем пособии рассматриваются три типа движения: поступательное, вращательное вокруг неподвижной оси и плоско-параллельное движение твердого тела
2.3.1. Поступательное движение твердого тела
Поступательным называют движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению (рис.2.8).
Доказана теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения (рис.2.8).
Вывод: Поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки.
 |
Рис. 2.8 Рис. 2.9
2.3.2 Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Вращательным вокруг неподвижной оси называют движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
Положение тела определяется углом поворота j (рис.2.9 ). Единица измерения угла – радиан. (Радиан - центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит 2p радиана.)
Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси j = j(t). Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования
- угловая скорость, рад/с; (2.10) 
- угловое ускорение, рад/с2 (2.11)При вращательном движении тела вокруг неподвижной оси его точки, не лежащие на оси вращения, движутся по окружностям с центром на оси вращения.
Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точка М, то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R(рис. 2.9). За время dt происходит элементарный поворот на угол
, при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние 
.Определим модуль линейной скорости: 
( 2.12 )Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим, см.(2.8)
,где:
; 
.Подставляя в формулы выражение (2.12) получим:
, . 
, (2.13)где:
- тангенциальное ускорение, 
-нормальное ускорение.2.3.3. Плоско - параллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным называется движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных одной неподвижной плоскости (рис.2.10). Для изучения движения тела достаточно изучить движение одного сечения S этого тела плоскостью, параллельной неподвижной плоскости. Движение сечения S в своей плоскости можно рассматривать как сложное, состоящее из двух элементарных движений: а) поступательного и вращательного; б) вращательного относительно подвижного (мгновенного) центра.
В первом варианте движение сечения может быть задано уравнениями движения одной его точки (полюса) и вращением сечения вокруг полюса (рис.2.11). В качестве полюса может быть принята любая точка сечения.
 |
 |
Рис. 2.10 Рис. 2.11
Уравнения движения запишутся в виде:
ХА = ХА (t)YА = YА (t) ( 2.14 )
jА = jА (t)
Кинематические характеристики полюса определяют из уравнений его движения.
Скорость любой точки плоской фигуры, движущейся в своей плоскости слагается из скорости полюса (произвольно выбранной в сечении точки А) и скорости вращательного движения вокруг полюса (вращение точки В вокруг точки А).
Ускорение точки движущейся плоской фигуры складывается из ускорения полюса относительно неподвижной системы отсчета и ускорения за счет вращательного движения вокруг полюса.
(2.15 ) 
(2.16 )Во втором варианте движение сечения рассматривается как вращательное вокруг подвижного (мгновенного) центра P (рис.1.12). В этом случае скорость любой точки В сечения будет определяться по формуле для вращательного движения
(2.17 )
Угловая скорость вокруг мгновенного центра Р может быть определена если известна скорость какой либо точки сечения, например точки А.
(2.18) 
Рис.2.12
Положение мгновенного центра вращения может быть определено на основании следующих свойств:
- вектор скорости точки перпендикулярен радиусу;
- модуль скорости точки пропорционален расстоянию от точки до центра вращения ( V= w ∙R) ;
- скорость в центре вращения равна нулю.