Теоретическая механика (стр. 6 из 6)

Количество движения механической системы

равно векторной сумме количества движения её точек.

(3.11)

или с учетом формул ( 3.1 ).

, (3.12)

где: m- масса механической системы,

- вектор скорости центра масс системы.

Кинетическая энергия материальной точки - скалярная величина Т, равная половине произведения массы точки на квадрат её скорости.

T=

(3.13)

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех её точек.

(3.14)

3.3. Аксиомы динамики

Первая аксиома - закон инерции.

Если на свободную материальную точку не действуют никакие силы или действует уравновешенная система сил, то точка будет находиться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Вторая аксиома- закон пропорциональности ускорения.

Ускорение, сообщаемое материальной точке действующей на неё силой, пропорционально этой силе и по направлению совпадает с направлением силы.

, (3.15 )

Выражение (3.15) называют основным законом динамики.

Третья аксиома - закон противодействия.

Силы, с которыми действуют друг на друга две материальные точки, равны по модулю и направлены вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны

, (3.16)

Четвертая аксиома - закон независимости действия сил.

При действии на материальную точку системы сил полное ускорение этой точки равно геометрической сумме ускорений от действия каждой силы

, ( 3.17 )

3.4. Дифференциальные уравнения динамики

Дифференциальные уравнения движения точки связывают ускорение точки с действующими на нее силами. Фактически дифференциальные уравнения являются записью основного закона динамики в явной дифференциальной форме.

Для абсолютного движения точки (движение в инерциальной системе отсчета) дифференциальное уравнение имеет вид

, (3.18)

Векторное уравнение (3.17) может быть записано в проекциях на оси прямоугольной инерциальной системы координат

,

, (3.19)

,

При известной траектория движения точки уравнение (3.18) может быть записано в проекциях на оси естественной системы координат

, (3.20)

C учетом (2.8) уравнения примут вид

(3.21)

3.5 Общие теоремы динамики

Общие теоремы динамики устанавливают зависимость между мерами механического движения и механического взаимодействия. Выводы теорем являются результатом тождественного преобразования основного закона динамики.

Теорема об изменении количества движения: изменение количества движения материальной точки (механической системы) за конечный промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени

-для материальной точки; (3.22)

-для механической системы. (3.23)

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии точки (механической системы) при её перемещении равно сумме работ всех действующих внешних сил на этом перемещении

- для материальной точки (3.24)

- для механической системы (3.25)

Кинетическая энергия механической системы определяется в соответствии с (3.14), при этом для твердых тел выведены следующие зависимости

-при поступательном движении тела, (3.26)

- при вращательном движении тела, (3.27)

- при плоско-параллельном движении тела. (3.28)

Моменты инерции некоторых однородных тел

Рис. 3.1 Рис.3.2. Рис.3.3.

Момент инерции цилиндра относительноего оси (рис. 3.1.)

Момент инерции стержня относительно оси z (рис.3.2)

Момент инерции прямоугольной пластины относительно осей х и y (рис.3.3)

Момент инерции шара определяется по формуле:

В общем случае работа сил определяется в соответствии с (3.8),(3.9).В ряде случаев действия сил работа может быть определена по частным зависимостям.

Работа силы тяжести

, (3.29)

где:

- сила тяжести,

- изменение положения тела по вертикали.

Работа силы при вращательном движении тела

, (3.30)

где:

- момент силы,

- угловая скорость тела.

Следует иметь в виду, что работа, как скалярная величина, может быть положительной или отрицательной. Работа будет положительной если направление действия силы совпадает с направлением движения.

3.6 Принцип Даламбера

Изложенные выше методы исследования движения тел, базируются на законах Ньютона. Разработаны методы, в основу которых положены другие принципы. Одним из них является принцип Даламбера.Принцип формулируеся: если в любой момент времени к действующим на точку силам присоединить силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной

, (3.31)

или для механической системы

(3.32)

Принцип Даламбера позволяет применять к решению задач динамики более простые методы статики, поэтому он широко используется в инженерной практике.

3.7. Вопросы для самоконтроля по разделу

1. Сформулируйте основные задачи динамики.

2. Дайте определения массы, момента инерции, импульса силы, работы силы, количества движения, кинетической энергии.

3. Сформулируйте основные законы динамики.

4. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением динамики? Какой алгоритм решения задач динамики с помощью дифференциальных уравнений?

5. Сформулируйте общие теоремы динамики.

6. Сформулируйте принцип Даламбера. Как определяются силы инерции?

7. Сформулируйте принцип возможных перемещений. Для каких условий применяется принцип возможных перемещений?