Академия России

Кафедра Физики

Реферат

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА переходных КОЛЕБАНИЙ в электрических цепях

Орел 2009

Содержание

Вступление

Основные свойства преобразования Лапласа

Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме

Операторные схемы замещения

Литература

ВСТУПЛЕНИЕ

Действия над многозначными числами, как известно, существенно упрощаются при использовании логарифмов. Так операция умножения сводится к сложению логарифмов, деление – к вычитанию логарифмов и т. д. Каждому числу соответствует свой логарифм и поэтому логарифм можно рассматривать как своего рода изображение числа.

Так, например,

, следовательно, в этой системе 2 есть изображение числа 100.

В основе операторного метода также лежит понятие об изображении. Однако если в случае логарифмов речь шла об изображении числа, то в операторном методе используется изображение функций времени. Здесь каждой функции времени

, определенной в области

, соответствует некоторая функция новой переменной

и, наоборот, функции переменной

соответствует определенная функция времени

Функция

называется оригиналом, функция

– изображением, а переменная

– оператором.

Фраза "функция

имеет своим изображением

" условно записывается так

Знак

называют знаком соответствия.

Основанный на таком представлении функций метод получил название операторного и используется для аналитического решения линейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в теории электрических цепей. Решение задачи при этом как бы разбивается на 3 этапа.

На первом этапе осуществляется переход из временной области в операторную, на втором – решение задачи в операторной форме и на третьем – обратный переход в область реального времени.

Основные свойства преобразования Лапласа

Нахождение изображений функции времени (равно как и обратные переходы от изображений к оригиналу) выполняются с помощью специальных интегральных преобразований, приводимых в курсе высшей математики. В настоящее время в большей части современной технической литературы операторные методы связывают с применением преобразования Лапласа, в основе которого лежит соотношение:

Важно отметить, что функции, описывающие реально возможные воздействия и соответствующие им реакции, всегда преобразуемы по Лапласу. Полученную в результате такого преобразования функцию называют иногда лапласовым изображением функции

или ее

-изображением и обозначают:

Отыскание

-изображения заданной функции называется прямым преобразованием Лапласа, а нахождение

по известному

– обратным преобразованием Лапласа.

Основные свойства и правила этих преобразований:

Свойство единственности. Каждому оригиналу (исходной функции) соответствует единственное изображение и наоборот, каждому изображению соответствует единственный оригинал.

Свойство линейности. Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений:

– оригинал;

– изображение.

Преобразование операции дифференцирования. Если оригинал

представляет производную от некоторой функции

то его изображение имеет вид:

При нулевых начальных условиях (ННУ)

, т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на оператор

(при ННУ).

Преобразование операции интегрирования. Если оригинал представляет от некоторой функции интеграл:

то его изображение имеет вид:

, т. е. интегрированию оригинала соответствует деление его изображения на оператор

Теорема запаздывания (оригинала). Если

, то

, где

— время запаздывания, т. е. запаздыванию оригинала на время

соответствует умножение его изображения на экспоненциальный множитель

Теорема смещения (изображения). Если

, то

, т. е. умножению оригинала на экспоненциальный множитель

соответствует смещение его изображения на величину

Решение задач прямого и обратного преобразований Лапласа существенно упрощаются в тех случаях, когда удается использовать справочные таблицы, которые содержат пары оригинал – изображение. Эти таблицы приводятся в справочниках.

Следует учесть, что при обратном преобразовании Лапласа полученные функции иногда не подходят под табличные. В этом случае используется разложение этой функции на простые дроби или в ряд с последующим применением обратного преобразования Лапласа.

Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме

Возможность существенного упрощения решения задачи анализа колебаний в электрических цепях операторным методом основывается на том, что для

-изображений колебаний формально верны законы Кирхгофа и Ома.

Действительно, согласно первому закону Кирхгофа:

Если обе части этого равенства подвергнуть преобразованию Лапласа, то оно переходит в равенство:

и следовательно, алгебраическая сумма

-изображений токов в любом узле цепи равна нулю. Аналогично доказывается справедливость второго закона Кирхгофа для операторных напряжений в контуре:

При выводе закона Ома в операторной форме будем полагать, что реактивные элементы находятся при ННУ (конденсатор разряжен, через катушку индуктивности не протекает ток).

Рассмотрим соотношения в элементах электрических цепей.

Элемент резистивного сопротивления.

– операторное резистивное сопротивление,

– резистивная операторная проводимость.

Таким образом, операторное напряжение на резистивном сопротивлении равно произведению сопротивления на величину операторного тока.

Элемент индуктивности.

– операторное индуктивное сопротивление,

– операторная индуктивная проводимость.