Расчет напряжений деформаций в изотропном теле по заданному тензору напряжений (стр. 2 из 2)
откуда
.На этом этапе решения задачи можно у
выбрать любой знак. Примем 
. Подставляя это значение в (18), получим: 
. (20)Углы, которые составляет первая главная ось тензора напряжений с исходными осями координат, находятся вычислением функции
от 
: 
.Вычисление
Подставляя в (14) и (15)
и используя те же два уравнения из (14) (можно и другие), получим: 
(21)Решая эту систему уравнений в той же последовательности, как и в п. 3.2.1, получим:
.Здесь по-прежнему знак у
принят положительным, а знаки остальных направляющих косинусов определились решением подсистемы из первых двух уравнений (21).Углы, которые составляет вторая главная ось с исходными осями координат, пока вычислять не будем. Может оказаться, что определитель матрицы направляющих косинусов будет равен -1, что соответствует левой системе координат. Для тог, чтобы получить правую систему координат, нужно будет у одной из осей поменять знаки направляющих косинусов.
1.3.2 Вычисление 
Подставляя в (14) и (15)
и используя те же уравнения, получим: 
(22)Решая эту систему, получим:
.Соответствующие углы равны:
.1.4 Проверка правильности вычисления главных напряжений и положения главных осей тензора напряжений
Проверка правильности вычисления главных напряжений
Для проверки правильности вычисленных главных напряжений определим инварианты тензора напряжений:
Как видим, инварианты получились такими же, как и в выражениях (1). Этот результат также подтверждает вывод о том, что напряженное состояние в точке нагруженного тела является инвариантным объектом.
Проверка правильности вычисления положения главных осей тензора напряжений
Проверка правильности вычисления положения главных осей тензора напряжений основана на свойствах матрицы направляющих косинусов (13). Она относится к ортогональным матрицам и обладает следующими свойствами:
1. Определитель ортогональной матрицы равен единице.
2. Сумма квадратов элементов, входящих в каждую строку (столбец) равна единице.
3. Если рассматривать каждую строку матрицы как вектор-строку, а каждый столбец – как вектор-столбец, то скалярные произведения двух разных векторов-строк (векторов-столбцов) равны нулю.
Воспользуемся первым свойством ортогональных матриц.
Подставив в (13) вычисленные направляющие косинусы, получим;
. (23)Определитель этой матрицы равен единице:
.Так как определитель получился равным 1, то система координат – правая. Поэтому знаки направляющих косинусов остаются без изменения.
.Соответствующие углы будут равны:
.1.5 Вычисление максимальных касательных напряжений, полного, нормального и касательного напряжений по заданной площадке
Вычисление максимальных касательных напряжений
В теории упругости доказывается, что максимальные касательные напряжения действуют по двум взаимно перпендикулярным площадкам, расположенным под
к главным площадкам, по которым действуют главные нормальные напряжения 
и 
.  |  |
Рис. 1. Максимальные касательные напряжения
Вычисление полного, нормального и касательного напряжений по площадке с заданными направляющими косинусами
Направляющие косинусы нормали
к заданной площадке равны: 
Проекции полного напряжения, действующего на заданной площадке, на координатные оси найдем по формулам:
(24) 
Полное напряжение на этой площадке найдем по формуле:
.Нормальное напряжение по этой площадке определим, спроектировав координатные составляющие на нормаль к площадке:
.Касательное напряжение на этой площадке найдем по теореме Пифагора (см. рис. 2):
. 
Рис. 2. Полное нормальное и касательное напряжения, действующие по заданной площадке