Определение реакции опор твёрдого тела (стр. 2 из 3)

Сумма работ внешних сил:

м/с

Интегрирование дифференциальных уравнений

Д-1 вар. 9

Лыжник

Vв

h

d

Дано

a=15° ; ; ƒ=0,1 τ=0,3 ;β=45α

h=42 β

НайтиVa, Vв

Решение

mX=SXi 1 Fтр=fN

mX=Gsina-Fcoпр N=Gcosa

mX=Gsina-fGcosa

X=gsina-fgcosa

X=(g(sina-fcosa) t+ C₁

X=(g(sina-fcosa)/2) t²+ C₁t+ C₂

При нормальных условиях : t=0 x=0

X=Vв X= C₂=0; C₁=Va

X=g (sina-fcosa) t+ C₁ X= (g (sina-fcosa)/2) t²+С₁*t

X=VвX=L

Vв=g (sinα-ƒ*cosα)τ+Va2

L= ((g(sinα-ƒ*cosα)τ)/2)τ+С₁*t

Рассмотрим движение лыжника от точки В до точки С, составим дифференциальное уравнение его движения.

Mx=0 my=0

Начальные условия задачи: при t=0

X0=0 Y0=0

X0=Vв*cosα ; Y0=Vв*sinα

Интегрируем уравнения дважды

Х=C3 Y=gt+C4 2

X= C3t+ C5 Y=gt /2+C4t+C6

при t=0

X=C3; Y0=C4

X=C5; Y0=C6

Получим уравнения проекций скоростей тела.

X=Vв*cosα , Y=gt+Vв*sinα

и уравнения его движения

X=Vв*cosα*tY=gt /2+Vв*sinα*t

Уравнение траектории тела найдем , исключив параметр tиз уравнения движения получим уравнение параболы.

Y=gx/2(2Vв*cosα) + xtgα

Y=hx=dh=tgβ*dd=h/tgβ

Найдём Vв из уравнения 2 2 2

Y=gx/2(2Vв*cosα) + xtgα

Vв=18м/с и найдём Va

Vв=g(sinα-ƒ*cosα)τ+Va

Va=11,3м/с

Ответ: Va=11,3м/с Vв=18м/с

Задание Д.3

Исследование колебательного движения материальной точки

Дано:

Найти: Уравнение движения

Решение:

Применим к решению задачи дифференциальное уравнение движения точки. Совместим начало координатной системы с положением покоя груза, соответствующим статической деформации пружины, при условии что точка В занимает свое среднее положение

. Направим ось вниз вдоль наклонной плоскости. Движение груза определяется по следующему дифференциальному уравнению:

,

где

-сумма проекций на ось сил, действующих на груз.

Таким образом

Здесь

,

где

- статическая деформация пружины под действием груза; -перемещение точки прикрепления нижнего конца пружины, происходящее по закону .

Статическую деформацию пружины

найдем из уравнения, соответствующего состоянию покоя груза:

т.е.

Откуда

Дифференциальное уравнение движения груза примет вид:

или после преобразования

Разделив все члены уравнения на

получим:

Введем обозначения:

Получаем, что

Имеем неоднородное уравнение

,

где

- общее решение, соответствующего однородного уравнения;

- частное решение данного неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Частное решение неоднородного уравнения:

Общий интеграл

Для определения постоянных интегрирования найдем, кроме ого, уравнение для

:

и используем начальные условия задачи.

Рассматриваемое движение начинается в момент

, когда деформация пружины является статической деформацией под действием груза.

Таким образом, при

Составим уравнения

и для :

Откуда

Тогда уравнение движения груза примет вид:

Ответ:

Применение теоремы об изменении количества движения к исследованию движения механической системы.

Дано:

Найти: Скорость

.

Решение:

На механическую систему действуют внешние силы:

- сила сухого трения в опоре А; - силы тяжести тел 1, 2 и 3; -сила нормальной реакции в точке А; -реактивный момент в опоре В.

Применим теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме. В проекциях на оси координат

, (1)

где

- проекции вектора количества движения системы на оси координат; - суммы проекций внешних сил на соответствующие оси.

Количество движения системы тел 1, 2 и 3

(2)

где