Смекни!
smekni.com

Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия (стр. 4 из 6)

предыдущее выражение можно записать, как

.

Поскольку эта формула справедлива для любой ориентации поверхности , а следовательно, и

вектора

, то имеем

(21)

В граничном условии (21) присутствует поверхностная плотность тока, избыточная по отношению к токам намагничивания. Если токи отсутствуют, то следует положить

=0. Учитывая, что
, а
есть поверхностная плотность тока намагничивания, запишем формулу (21) в виде:

где

.

Используя уравнение (1) и проводя аналогичные рассуждения, получаем граничные условия для вектора

:

(22)

Таким образом, уравнения Максвелла (1) - (4) должны быть дополнены граничными условиями (18), (19), (21) и (22). Эти условия означают непрерывность тангенциальных составляющих вектора

(22) и нормальной составляющей вектора
(19) при переходе через границу раздела двух сред. Нормальная составляющая вектора
при переходе через границу раздела испытывает скачок, тангенциальная составляющая вектора
, если имеются поверхностные токи (21).

Ещё одно граничное условие можно получить, используя уравнение непрерывности (

0) и уравнение (4), из которых следует:

Так как граничное условие (19) является следствием уравнения (2), то по аналогии находим:

(23)

Если же на поверхности раздела нет зарядов, поверхностная плотность которых зависит от времени, то из (18) и (23) следует непрерывность нормальных составляющих плотности тока:

.

Итак, граничные условия на поверхности раздела двух сред имеют вид:

;

(24)

;

где

- нормаль к границе раздела, направленная из среды 2 в среду 1, и должны выполняться в любой момент времени и в каждой точке поверхности раздела.

3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики

Так как на практике почти всегда приходится решать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничные условия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла (1) – (4).

В случае стационарных электрических и магнитных полей (

и
) система уравнений Максвелла (1) – (4) распадается на систему

уравнений электростатики:

,
,
(25)

и уравнений магнитостатики:

,
,
, (26)

а граничные условия остаются те же.

4. Пример

В качестве примера решения электростатических задач можно вычислить электрическое поле, создаваемое диэлектрическим шаром радиуса R, находящемся в однородном электрическом поле

. Уравнения электростатики в диэлектрике (25) при
=0 имеют вид:

,
,
(27)

Из этих уравнений следует, сто потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению

(28)

причём

= -
,
-
. В однородном диэлектрике
=const , поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнение Лапласа
=0.

Граничное условия (24), выражающее непрерывность вектора индукции, записывается следующим образом:

при r=R (29)

Здесь

– решение уравнения вне сферы, а
– внутри сферы. Вместо граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического поля можно использовать эквивалентное ему условие непрерывности потенциала

=
(30)

Это условие можно получить, рассматривая интеграл

по контуру, изображенному на рис. 2. Воспользовавшись теоремой Стокса и уравнением
, находим

Так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то это значит, что функция

непрерывна, откуда и следует условие (30). Из (30) очевидно так же, что

где элемент

направлен касательно к границе раздела. Из этого равенства следует, что тангенциальные компоненты вектора
также непрерывны.

Для решения поставленной задачи используем сферическую систему координат, полярная ось которой (ось z) совпадает с направлением напряжённости однородного внешнего электрического поля

.

Поскольку на достаточно большом удалении от диэлектрического шара электрическое поле не искажается наличием этого шара, то потенциал

должен удовлетворять условию

при
.

Из соображений симметрии ясно, что потенциал не должен зависеть от азимутального угла, поэтому решение уравнения Лапласа запишем в виде разложения по полиномам Лежандра

:

,

.

Здесь потенциал нормирован так, чтобы

при
. Так как
, то из условия на бесконечности находим
.