14. Внутр. эн-я системы. З-н сохр-я энергии. Мы рассмотрели взаимопревращение кин. и пот. энергий в поле консервативных сил. Что происходит, if действуют неконсервативные силы. Мы знаем, что, if телу сообщит скорость (сообщить кинетическую энергию)и пустить двигаться, например, по пов-ти земли, оно остановиться за счет сил трения. Его потенциальная эн-я не изменится, а кинетическая станет =ой нулю, когда оно остановиться. Для ответа на вопр, во что перешла кинетическая эн-я, необходимо ввести еще 1 вид энергии- внутреннюю энергию. Определим внутреннюю энергию Евн как сумму кинетических и потенциальных энергий частиц (атомов), составляющих тело: Евн=S((Е^i)пот+(Е^i)кин) (11.13) Здесь N -число частиц, i -номер частицы. Параметром, характеризующим внутреннюю энергию явл. температура тела Т0К, выраженная в градусах Кельвина. Чем больше температура тела, тем с большей скор-тью двигаются атомы и тем самым больше внутренняя эн-я. Численно внутренняя эн-я =а: Евн=(М/'мю')C Т^0 (11.14) М - маса тела, ??????молярная маса (численно равная атомному или молекулярному весу составляющих атомов),С -теплоемкость, равная энергии, кот. нужно передать 1му килограмму-молю, чтобы нагреть его на 1 градус Цельсия или Кельвина. Изменение внут. энергии при переходе системы из состояния 1 в сост. 2 пропорционально изменению температуры тела: Евн(2)-Евн(1) = 'дельта'U = (M/m)C 'дельта T^0. Сумму кин., пот. и внут. энергий системы принято называть полной энергией Е. В рассмотренном нами примере с останавливающемся телом кинетическая эн-я тела переходит во внутреннюю энергию, т.е. идет на нагревание системы. С учетом вышесказанного мы можем сформулировать з-н сохранения полной энергии системы: Полная эн-я изолированной системы остается пост.. Мы теперь не конкретизируем, какие силы (консервативные или неконсервативные) действуют в этой сист-е. Работа в сист-е, совершаемая за счет пот. энергии, может переходить и в кинетическую энергию системы, и во внутреннюю энергию. При увеличении внут. энергии сист. нагревается.
12.1 Постулаты Т. отнсит-ти. К концу прошлого в. Д.К.Максвеллом (1831-1879) были сформулированы осн. законы электричества и магнетизма в виде системы дифференциальных уравнений, кот. описывали постоянные и переменные электрические и магнитные поля. Решения системы уравнений Максвелла описывали всю гамму поведений электромагнитных полей в прост-ве и времени. Из системы уравнений Максвелла следовало, что переменные электрические и магнитные поля могут существовать только в форме единого электромагнитного поля, кот. распространяются в прост-ве после возникновения с пост. скор-тью, =ой скор. света в вакууме - с. На вопр о том, в какой среде распространяется это поле, Т. Максвелла ответа не давала. Ключевым моментом Т. Максвелла являлось то, что уравнения Максвелла были неинвариантны относит. преобр. Галилея. Это означало, что при переходе с помощью преобр. Галилея из 1ой инерц. системы отсч. в друг., уравнения меняли свой вид. Это обозначало, что преобр. Галилея нельзя было применять при описании электрич. и магнитных явлений. Строгое математическое доказательство неинвариантности уравнений Максвелла относит. преобр. Галилея достаточно сложно. Поэтому, проиллюстрируем этот факт на простом и наглядном примере. Для этого потребуется вспомнить, какие силы действуют на движущиеся заряды в электрич. и магнитных полях. Пусть 2 одноименных заряда летят с одинаковой скор-тью в направлении оси (ox), как это показано на рис.12.1. В неподвижной сист-е отсч. заряды будут создавать электрические и магнитные поля, и, след., будут находиться в полях друг друга. Электрическое поле воздействует на заряд силой Кулона, магнитное - силой Лоренца. Напомним формулы для вычисления этих сил для случая, приведенного на рисунке. Fк=1/4Пи'эпсилонт нулевое'*q1q2/l^2; Fa=q2*v*B1, где B1=4*Пи*q1*v/'мю нулевое'*l^2. Здесь B1 - магнитная индукция, создаваемая первым зарядом в точке, где находится 2й. Сила Кулона для одноименных зарядов всегда явл. силой отталкивания, а сила Лоренца в данном случае явл. силой притяжения. Тким обрзом, в неподвижной сист-е отсч. величина силы взаимдейст. =а: F = FK - FЛ. If перейти к сист-е отсч., движущейся вдоль оси (ох) со скор-тью ( вместе с зарядами, то в ней заряды окажутся неподвижными, и сила Лоренца не возникнет. Тким обрзом, силы взаимдейст. зарядов в различн. инерц. сист. отсч. окажутся разными. След. и поведение частиц ,их движение во времени, будет разным в зависим. от того, в какой инерц. сист-е коорд. мы рассматриваем это движение. Есcно, что это абсурд и отсюда сделаем вывод, что к движущимся зарядам, законы движения и взаимдейст. кот. описываются уравнениями Максвелла, нельзя применять принцип отнсит-ти Галилея, т.е. преобр. Галилея. Вторым этапом в становлении специальной Т. отнсит-ти стал опыт А.А.Майкельсона (1852-1931), проведенный в 1881 году. В опыте определялась скорость света в различн. движущихся сист. отсч.. Уже говорилось, что по Т. Максвелла электромагнитные волны должны распространяться со скор-тью в вакууме - с. Встал вопр, в какой инерц. сист-е отсч. это происходит. If таковой считать систему отсч., связанную с неподвижными звездами, то скорость нашей планеты относит. них ( = 30 км/с. Эта скорость большая и сравнимая со скор-тью света с. Майкельсон экспериментально определял скорость света в разных сист. отсч., а имено, он измерял скорость света, идущего в 2х противоположных относит. Земли напр-ях. В соответствии с преобразованиями Галилея и положениями класич. механики, скор. света в этих сист. отсч. должны были бы отличатся на величину 2v. Результаты эксперимента Майкельсона однозначно показали, что скорость света не зависит от выбора системы отсч. и всегда =а с. Т.е. было установлено, что электромагнитные волны во всех инерц. сист. отсч. распространяются с одинаковой скор-тью с(3(108 м/с. Эксперименты, подобные опыту Майкельсона повторялись неоднократно со все возрастающей точностью. На сегодняшний день можно утверждать, что скорость в различн. сист. отсч. одинакова с точностью порядка нескольких мм/с.
16. Преобразования Лоренца. В 1904-м году голландский физик Х.А.Лоренц (1853-1928) вывел преобр. для перехода из 1ой инерц. системы отсч. в друг., отличные от преобр. Галилея. Сист. уравнений Максвелла была инвариантна относит. этих преобр.. Преобразования касались и коорд., и времени. Обозначим координаты и время некоторого события (например положения мат. тчки в прост-ве) в инерц. сист-е отсч. К через x, y, z, t, а в другой инерц. сист-е отсч. К' через x',y',z',t'. Системы отсч. выбраны так, чтобы их координатные сетки начальный момент времени t=t'=0 совпадали, а в дальнейшем сист. К' двигалась относит. системы К со скор-тью u вдоль ее оси (ox). Преобразования Лоренца имеют вид: x'=x-ut/'корень'(1-(u/c)^2); y'=y; z'=z; t'=(t-ux/c^2)/'корень'(1-(u/c)^2) (12.1). Сразу можно сказать, что при u/c 'стремится' 0 преобр. Лоренца переходят в преобр. Галилея. Т.е. преобр. Галилея явл. частным случаем преобр. Лоренца при малых скоростях движения. Анализируя сложившееся полож. А.Эйнштейн разработал новую механику больших скоростей, называемую сейчас релятивистской механикой или специальной Т. отнсит-ти. В основе этой Т. лежат 2 постулата. Согласно первому постулату скорость распространения света во всех инерц. сист. коорд. одинакова и =а скор. распространения света в вакууме - с. Этот постулат утверждает эквивалентность инерц. систем отсч. относит. скор. света. 2й постулат закл. в том, что все физические законы и явл-я формулируются и протекают одинаково во всех инерц. сист. отсч., т.е. инвариантны относит. преобр. Лоренца. Базируясь на этих постулатах, Эйнштейн разработал Т. движения систем при любых скоростях, вплоть до скоростей света. В рамках Т. отнсит-ти получены выводы, казалось бы противоречащие законам класич. механики. Однако, все выводы этой Т. подтверждены экспериментально с высокой точностью. Согласно принципу соответствия старая Т. (классическая механика или механика движения тел при малых скоростях) явл. частным случаем новой. И наоборот, новая Т. отнсит-ти переходит в старую классическую механику при скоростях движения v<<c.
17. Релятивистская механика. Сокращение длины и времени. Обратимся к преобразованиям Лоренца (12.1). Из них след., что максимальная скорость движения мат. систем ограничена скор-тью света в вакууме с. If бы скорость движения тела превысила скорость света, то, как след. из преобр. Лоренца, координаты и время станут мнимыми т.е. потеряют реальный физ. смысл. Теперь рассмотрим некоторые следствия из преобр. Лоренца. В класич. механике расстояние между двумя точками и время были одинаковым во всех инерц. сист. отсч.. В релятивистской механике они оказались разными в различн. инерц. сист. отсч., т.е. перестали быть инвариантами. Но инварианты относит. преобр. Лоренца должен быть. 1им из них явл. скорость света в вакууме - с. Она действительно одинакова во всех инерц. сист. отсч.. Другим инвариантом этих преобр. явл. так называемый интервал между событиями. Его квадрат равен: 'дельта'S^2=c^2*'дельта't^2-'дельта'x^2+'дельта'y^2+'дельта'z^2 (12.2). Благодаря инвариантности интервала пространство и время оказываются взаимосвязанными. Они образуют единое четырехмерное пространство-время. Вдоль четвертой оси откладывается мнимая величина ict. Четырехмерное пространство-время было впрвые введено Г.Минковским (1864-1909) и сейчас носит его имя. Попробуем представить себе такое пространство. Мы умеем делать проекции трехмерного прост-ва на двухмерное. Например, таким обрзом мы рисуем на доске трехмерную систему коорд. на плоскости - двухмерном прост-ве. Представим себе в объемном трехмерном прост-ве проекцию четырехмерного куба. Это будут 2 куба, каждая из вершин одного куба соединена с соответствующей вершиной 2го куба линией четвертого измерения. Расстояние между двумя точками в четырехмерном прост-ве и будет интервал в соответствии с законами геометрии. Проанализируем теперь на основе преобр. Лоренца одновременность событий в разных сист. отсч.. В класич. механике использовался принцип дальнодействия, когда взаимдействие между телами осуществлялись мгновенно через люб. расстояние. В этом случае мы могли бы ставить одно и тоже время в разных сист. коорд.. Попросту говоря синхронизовать время и задавать его одним и тем же. Рассмотрим эксперимент по синхронизации часов, базируясь на постулатах Т. отнсит-ти. Представим себе следующую ситуацию (см. рис.12.2). Первый наблюдатель 1 стоит на земле и мимо него двигается вагон, в середине кот. стоит 2й наблюдатель 2. В начале и конце вагона расположены часы (1) и (2) кот. нужно синхронизовать. Это проще всего сделать следующим обрзом. 2й наблюдатель в вагоне посылает свет в 2е стороны и в момент прихода света на часы, они включаются с нуля и идут синхронно. С тчки зрения наблюдателя в вагоне часы показывают одинак. время. Рассмотрим, что покажут часы первому наблюдателю, стоящему на земле. Скорость распространения света постояна в люб. сист-е отсч.. Пока свет распространяется в конец вагона, часы 1 переместятся ему навстречу и будут включены раньше. Часы 2 уйдут за время распространения света и будут включены позднее. Тким обрзом, с тчки зрения первого наблюдателя часы будут показывать разное время , а с тчки зрения 2го наблюдателя - одинак.. Время будет разное для 2х разных наблюдателей, находящихся в различн. инерц. сист. отсч.. К этому же результату можно прийти и чисто формально, при помощи преобр. Лоренца. Покажем это. Пусть в неподвижной сист-е отсч. К 2 события происходят одновремено, т.е.t1=t2. Найдем разность 'дельта't'=t2'-t1' в сист-е отсч. К', перемещающейся относит. К вдоль оси x со скор-тью u. Для этого воспользуемся преобразованием Лоренца для времени. 'дельта't'=t2'-t1'=(t2 - u*x2/c^2 - t1 + u*x1/c^2)/'корень'(1-(u/c)^2)=((t2-t1) + (u/c^2)*(x1-x2))/'корень'(1-(u/c)^2)=u(x1-x2)/(c^2)*'корень'(1-(u/c)^2) 'не равно' 0, т.к. x1'не равно'x2. Не вдаваясь в детальный анализ, укажем, что изменение длительности промежутков времени не касается принципа причинности: if из 2х событий, одно явл. следствием другого и разделены промежутком времени, то в люб. инерц. сист-е отсч. эти события также разделены промежутком времени, и последовательность событий не нарушается. Т.е. следствие всегда идет после причины. Обратимся еще раз к примеру, приведенному в параграфе 12.1, в кот. рассматривалось взаимдействие 2х движущихся зарядов, и ответим на вопр, почему же все-таки силы взаимдейст. окажутся для разных наблюдателей разными. Ответ на него закл. в том, что в движущейся сист-е отсч. время течет медленнее, и ускорение, а знчит, и сила взаимдейст. уменьшится. Кроме изменения хода часов наблюдается изменение размеров (укорочение) быстро движущихся объектов. Этот эфект тоже может быть выведен из преобр. Лоренца. Связь длины отрезка, направленного вдоль скор. движения, в сист-е К (наблюдаемая длина l) и в сист-е K' (собственная длина l0) задается формулой: l=l0*'корень'(1-(u/c)^2) (12.4). Т.о собственная длина всегда максимальна. Отметим, что сокращаются лишь размеры тела вдоль направл-я скор. системы K'. Изменение размеров - кажущийся, ненаблюдаемый эфект. В релятивистской механике предсказан еще целый ряд парадоксальных с тчки зрения класич. механики явлений. В настоящее время большинство из них наблюдались в экспериментах. При этом не наблюдалось отклонений от предсказаний специальной Т. отнсит-ти.