Смекни!
smekni.com

Кинематика материальной точки (стр. 3 из 3)

Известно, что любой вектор может быть представлен как сумма трёх векторов, направленных по трём наперёд заданным направлениям, не лежащим в одной плоскости.

.

Здесь

– совокупность ортов, задающих направления. Она называется базисом системы отсчёта.
– совокупность координат радиус-вектора в этом базисе. Т.к. вектор по трём избранным направлениям раскладывается однозначно, то однозначно и определение координат точки пространства.

Рассмотрим операцию скалярного умножения двух векторов

и
(например, радиус-векторов точек пространства А и В):

=

Всего девять слагаемых. Т.к.

, то сумма диагональных элементов совсем проста:
. Все остальные (перекрёстные члены) кроме произведения координат содержат множители типа

.

Выражение скалярного произведения

можно существенно упростить, если выбрать углы
. В этом случае говорят, что базис системы координат ортогональный. Только в ортогональном базисе

,

т.к.

и все перекрёстные члены равны 0. Именно в силу простоты записи скалярного произведения ортогональный базис является предпочтительным.

Впервые ортогональную систему координат (СК) ввёл Р. Декарт, и она называется декартовой. Только в декартовой СК

· координаты вектора являются его проекциями на соответствующую ось:

;

докажем это для первой координаты:

· координаты вектора связаны с его модулем соотношением Пифагора:

,

т.к.

в соответствие с выражением скалярного произведения в декартовой системе.

Существуют традиционные обозначения декартовой СК.

Ось Обозначение координаты Обозначение орта
1 r1=х
2 r2=у
3 r3=z

Таким образом, разложение радиус-вектора в декартовой СК будет иметь вид:

.

Векторную функцию движения

можно заменить тремя скалярными зависимостями, которые называются законами движения: x(t), y(t), z(t).Законы движения содержат всю информацию о движении. Т.е. если известны законы движения, то можно ответить на любой вопрос, касающийся движения материальной точки.

· Скорость.

Таким образом, проекции вектора скорости равны производным соответствующих законов движения.

· Ускорение.

.

Таким образом, проекции вектора ускорения равны вторым производным законов движения.

А как найти касательное и нормальное ускорения? Они являются результатом разложения вектора полного ускорения по направлениям касательной и нормали:

.

Касательный орт и орт нормали являются осями двумерного ортогонального базиса. Т.е. алгебраическое значение касательного ускорения представляет собой проекцию полного ускорения на орт

:

.

Но касательный орт можно выразить через вектор скорости:

.

Следовательно,

.

Тогда легко получить:

.

А найдя нормальное ускорение, легко найти радиус кривизны:


Заключение

Подведем некоторые итоги. Материальная точка представляет собой ключевую физическую модель. На примере этой модели рассматриваются очень многие физические явления. Описав движение материальной точки, можно затем перейти и к описанию движения твердого тела, но не наоборот.

Основными понятиями кинематики материальной точки являются понятия положения точки, ее скорости и ускорения. Но все эти понятия не имеют смысла вне системы отсчета, включающей в себя систему координат и часы.

Важнейшую роль в кинематике материальной точки играют векторная алгебра и принцип относительности движения.

Сложное движение материальной точки всегда можно разложить на составляющие, причем не однозначно: по координатам, на касательное и нормальное движение, прямолинейное и вращательное.


Литература

1. Мякишев Г.Я. Физика – 10. Механика. – М.: Дрофа. 2002.

2. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физика – 10. Молекулярная физика. Термодинамика. – М.: Дрофа. 2002.

3. Мякишев Г.Я., Синяков А.З., Слободков Б.А. Физика – 10–11. Электродинамика. – М.: Дрофа. 2002.

4. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физик – 11. Колебания и волны. – М.: Дрофа. 2002.

5. Демков В.П., Третьякова О.Н. В помощь поступающим в ВУЗы. Физика. Механика. – М.: Издательство МАИ, 1996.

6. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Т.1.

М.: Дрофа, 2003

7. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Упражнения и задачи.

М.: Дрофа, 2004.

8. Касаткина И.Л. Репетитор по физике. Т.1.

Ростов н/Д: Феникс, 2002.

9. Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Сборник задач по физике с решениями для втузов.

М.: ООО Издательство «Мир и Образование», 2003.