Математическое моделирование физических задач на ЭВМ (стр. 4 из 8)

.

Как видно, токи всех ветвей, т. е. поведение всей цепи, полностью определяются n_х контурными токами, число которых меньше числа ветвей.

Запишем уравнения ветвей. Положим для удобства, что выполнено преобразование всех источников тока и цепь содержит только источники напряжения. Примем для общности каждую ветвь состоящей из последовательного соединения резистивного элемента и источника напряжения (рис. 3.3,6). Уравнение такой составной ветви имеет вид:

.

Для получения уравнений относительно выбранных переменных необходимо:

1) с помощью уравнений ветвей

в уравнениях равновесия напряжений заменить напряжения всех ветвей токами;

2) токи ветвей в получившейся системе заменить, согласно

, контурными токами.

Получим уравнения для одной из ячеек, например первой (рис. 3.3, в), образованной тремя ветвями. Основным уравнением равновесия напряжений в первом контуре будет:

u₁+u₂+u₃=0 (*)

Токи ветвей ячейки:

.(**)

Уравнения ветвей:

(***)

Из трех систем уравнений (*), (**), (***) необходимо получить уравнение, содержащее только искомые контурные токи. В соответствии со сказанным с помощью (***) заменяем в основном уравнении (*) напряжения на токи ветвей, которые затем выражаем через контурные токи согласно (**):

,

После группировки имеем:

Первое слагаемое здесь представляет сумму напряжений всех резистивных ветвей контура только от собственного контурного тока в отсутствие токов других контуров (при их разрыве), а остальные слагаемые—напряжения ветвей контура от токов других контуров в отсутствие собственного контурного тока. В правую часть перенесены напряжения всех источников, входящих в контур.

Аналогичные уравнения получим для остальных контуров. Если число контуров равно п, топредположив для общности число ветвей каждой ячейки также равным п, можно записать систему уравнений контурных токов:

КоэффициентR_kk—собственное сопротивление контура, равное сумме сопротивлений всех ветвей ячейки, а коэффициент R_ik=R_ki (i<>k) – взаимное сопротивление контуров, равное сопротивлению общей для контуров i и k ветви, взятому с отрицательным знаком, которым учитываются встречные направления контурных токов в рассматриваемой ветви.

Каждое уравнение системы выражает условие равновесия напряжений ветвей контура – резистивных и источников напряжения (в правой части). Слагаемое на главной диагонали

дает напряжение всех резистивных ветвей только от собственного контурного тока, а слагаемое Р_kji_j=u_kj - напряжениена взаимном сопротивлении контуров только от тока в j-м контуре.

Составление уравнений сводится к записи симметричной матрицы параметров контурных токов:

Вектора контурных напряжений источников, составляющие которых равны суммам напряжений источников в контурах:

При введении вектора искомых контурных токов уравнения (3.10) в матричной форме можно записать в виде:

.

3. Алгоритм формирования узловых уравнений

Для ввода графа или соединений цепи производят последовательную нумерацию:

1) всех узлов от 1 до п=п_y-1(опорному узлу присваивают нулевой номер);

2) всех ветвей от 1 до n_в. Как указывалось, всю информацию о структуре графа содержит матрица соединений. Но вводить в память этуматрицу в виде двумерного массива нерационально из-за большого числа нулевых элементов. Поэтому структуру графа вводят с помощью таблицы соединений – одномерногомассива троек целых чисел(k, i, j), гдеk—номер ветви;i—номер узла, откуда ветвь выходит;j—номер узла, куда ветвь входит. Тройки чисел дают ненулевые элементы a_ik=1 и а_jk=-1 матрицы А. По заданной таблице соединений можно получить все необходимые для формирования уравнений матрицы.

Формировать узловые уравнения на ЭВМ можно перемножив произведение первых двух матриц па транспонированную матрицу соединений, получим матрицу узловых проводимостей; перемножение транспонированной матрицы А^Т на вектор токов источников дает вектор узловых токов. Действия над матрицами (транспонирование, суммирование, перемножение) легко программируется. Упомянутые матрицы являются разреженными, т. е. содержат много нулевых элементов. Поэтому приведенный алгоритм, включающий много действий умножения на нулевой элемент, применять невыгодно.

Более рационально формировать матрицу G^y и вектор i^yнепосредственно - по мере поступления данных составных ветвей, исходя из смысла собственной и взаимной проводимостей. Вначале матрицу узловых проводимостей и вектор узловых токов принимают равными нулю: G^y=0 и i^y=0, затем к ним добавляют элементы, вносимые каждой составной ветвью. Данные ветви (k, i, j) с проводимостью G_k и током источника тока i_ok войдут в собственные проводимости G_ii, G_jj, узлов i, j как добавки G_k, во взаимные проводимости G_ij, G_ji как добавки G_k и в элементы вектора узловых токов i_yi, i_yi-как добавки ±i_0k. Добавки ветви в матрицу проводимости G^y и вектор тока i^y можно представить в виде:

Если ветвь присоединена к базисному узлу (j=0) то она внесет добавкуG_k, только в собственную проводимость G_iiи добавку i_0k в составляющую i_iyвектора узловых токов. Учет данных последней ветви завершает формирование узловых проводимостей и вектора узловых токов.

Заключение

Таким образом в настоящей дипломной работе:

· проведен литературный обзор по моделированию процессов в радиотехнических цепях, методов и средств расчетов токов и направлений в них;

· построена математическая модель разветвленной цепи постоянного тока;

· на языке программирования Турбо Паскаль версии 7.0. в удобном графическом интерфейсе разработана программа построения и анализа электрической схемы цепи постоянного тока;

· приведены методические пояснения при работе с разработанной программой, а также расчетов и анализа электрических цепей;

· программа допускает без принципиальных изменений расширение её функциональных возможностей для расчетов цепей переменного тока, а также моделирования и анализа электромагнитных полей;

· результаты настоящей дипломной работы могут быть использованы в учебном процессе, при разработке электронной аппаратуры в научных лабораториях и на производстве.

В заключение хочу выразить благодарность своим научным руководителям: Цыпишка Дмитрию Ивановичу, Брагарь Луке Федеровичу и заведующиему кафедрой кафедрой общей физики и методики преподавания физики Стамову Ивану Григорьевичу, за методическую помощь, оказанную при написании дипломной работы.

Использованная литература

1. К.С. Демирчан, П.А. Бутырин. Моделирование и машинный расчет электрических цепей. М., «Высшая школа», 1988г.

2. В. Нерретер. Расчет электрических цепей на ПЭВМ. М., «Энергоатомиздат», 1991г.

3. Пантюшин В.С. Сборник задач по электротехнике и основам электронники. М., «Высшая школа», 1979г.

4. П.Н. Махтанов. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. М., «Высшая школа», 1990г.

5. «Электротехника». Под редакцией проф. В.С. Пантюшина. М., «Высшая школа», 1976г.

6. В.Г. Абрамов, Н.П. Трифонов, Г.Н. Трифонова. «Введение в язык Паскаль». М., «Наука», 1988г.

7. Ж.Джонс, К. Харроу. «Решение задач в системе Турбо Паскаль». М., «Финансы и статистика», 1991г.

8. К. Боон. «Паскаль для всех». М., «Энергоиздат», 1988г.

9. Д. Прайс. «Программирование на языке Паскаль». Практическое руководство. М., «Мир», 1987г.

Приложение

I. Рисунки с видами экрана при работе с программой....................................................... 20

Рисунок №1. Общий вид экрана...................................................................................................... 20

Рисунок №2. Меню – Файл.............................................................................................................. 21

Рисунок №3. Открытие файла, сохраненного на диске.................................................................. 22

Рисунок №4. Вид экрана с изображением схемы........................................................................... 23

Рисунок №5. Вывод результата вычисления токов в ветвях схемы.............................................. 24

Рисунок №6. Просмотр направления токов в ветвях схемы.......................................................... 25

Рисунок №7. Вид экрана при сохранении схемы в файл................................................................. 26

Рисунок №8. Меню – Окно.............................................................................................................. 27