Міністерство освіти України
Київський національний економічний університет
Кафедра вищої математики
Доповідь
Тема:”Особливості математичних методів, застосовуваних для вирішення економічних задач ”
Виконав: студент І-го курсу
Факультету ІСіТ
Солом’яний Максим Михайлович
Київ 2000
Особливості математичних методів, застосовуваних для вирішення економічних задач
У економічних дослідженнях здавна застосовувалися найпростіші математичні методи. У господарському житті широко використовуються геометричні формули. Так, площа ділянки поля визначається шляхом перемножування довжини на ширину або об’єм силосної траншеї - перемножуванням довжини на середню ширину і глибину. Існує цілий ряд формул і таблиць, що полегшують господарським працівникам визначення тих або інших розмірів.[5 (52)].
Нема що говорити про застосування арифметики, алгебри в економічних дослідженнях, це вже питання про культуру дослідження, кожний економіст, що шанує себе, володіє такими навиками. Особняком тут коштують так називані методи оптимізації, частіше називані як економіко-математичні методи.
У 60-ті роки нашого сторіччя розгорнулася дискусія про математичні методи в економіці. Наприклад, академік Немчинов виділяв п'ять базових методів дослідження при плануванні:
1) балансовий метод;
2) метод математичного моделювання;
3) векторний-матричний метод;
4) метод економіко-математичних множників (оптимальних суспільних оцінок);
5) метод послідовного наближення.[9 (153)].
У той же час академік Канторович виділяв математичні методи в чотирьох групи:
- макроекономічні моделі, куди відносив балансовий метод і моделі попиту;
- моделі взаємодії економічних підрозділів (на основі теорії ігор);
- лінійне моделювання, включаючи ряд задач, що трохи відрізняються від класичного лінійного програмування;
І з тієї, і з іншій класифікацією можна сперечатися, оскільки, наприклад моделі попиту можна по ряді особливостей віднести до нелінійного програмування, а стохастичне моделювання іде коренями в теорію ігор. Але все це проблеми класифікації, що мають визначене методологічне значення, але в даному випадку не настільки важливі.
З точки ж зору ролі математичних методів варто говорити лише про широту застосування різних методів у реальних процесах планування.
З цього погляду безсумнівним лідером є метод лінійної оптимізації, що був розроблений академіком Канторовичем у 30-ті роки ХХ-го століття. Частіше усього задача лінійного програмування застосовується при моделюванні організації виробництва. От як по Канторовичу виглядає математична модель організації виробництва:
У виробництві беруть участь M різних виробничих чинників (інгредієнтів) - робоча сила, сировина, матеріали, устаткування, кінцеві і проміжні продукти й ін. Виробництво використовує S технологічних способів виробництва, причому для кожного з них задані об'єми вироблених інгредієнтів, розраховані на реалізацію цього способу з одиничною ефективністю, тобто заданий вектор ak = (a1k, a2k,... , amk ), k = 1,2... ,S, у котрому кожна з компонент aik вказує об'єм виробництва відповідного ( i-го ) інгредієнта, якщо вона позитивна; і об'єм його витрати, якщо вона негативна ( у способі k ).
Вибір плану означає вказівка інтенсивностей використання різних технологічних способів, тобто план визначається вектором x = (x1, x2,... , x ) з невід’ємними компонентами [4 (32)].
Звичайно на кількості що випускаються і що затрачаються інгредієнтів накладаються обмеження: зробити потрібно не менше, ніж потрібно, а затрачати не більше, ніж є. Такі обмеження записуються у виді
s
S a ikxk > bi ; i=1,2,... ,m. (1)
k=1
Якщо i > 0, то нерівність означає, що є потреба в інгредієнті в розмірі i, якщо i < 0,то нерівність означає, що є ресурс даного інгредієнтів розмірі - i =: i:. Далі передбачається, що використання кожного способу, зв'язаного з витратою одного з перерахованих інгредієнтів або особо виділеного інгредієнта в кількості Ck при одиничній інтенсивності способу k. У якості цільовій функції приймається сумарна витрата цього інгредієнта в плані.
s
f(x) = S ckxk. (2)
k=1
Тепер загальна задача лінійного програмування може бути подана в математичній формі.
Для заданих чисел aik, ck, і bi найти
s
min S ckxk
k=1
при умовах
k > 0, k = 1,2,... ,s [1]
s
S aikxk > bi, i = 1,2,...,m [2]
k=1
План, що задовольняє умовам [1] і [2], є припустимим, а якщо в ньому , крім того, досягається мінімум цільової функції, то цей план оптимальний. [K33]
Задача лінійного програмування двоїста, тобто, якщо пряма задача має рішення, (вектор x =( x1, x2,... , xk)), те існує і має рішення зворотна задача заснована на транспонуванні матриці прямої задачі. Рішенням зворотної задачі є вектор y = ( y1, y2... ,ym) компоненти якого можна розглядати як об'єктивно обумовлені оцінки ресурсів, тобто оцінки, що показують цінність ресурсу і наскільки повно він використовується.
На основі об'єктивно обумовлених оцінок американським математиком Дж. Данцигом - був розроблений симплекс-метод рішення задач оптимального програмування. Цей метод дуже широко застосовується. Алгоритм його дуже детально пророблений, і навіть складені прикладні пакети програм, що застосовуються в багатьох галузях планування.
Метод лінійної оптимізації з того моменту, як він був розроблений Канторовичем, не залишався без змін, він розвивався і продовжує розвиватися. Наприклад, формула (2) у сучасній інтерпретації виглядає в такий спосіб.
S aij xj < bi (i Î I) (3)
j ÎA1
У чому ж відмінність?
По-перше обмеження записується не більше, або дорівнює , а менше, або дорівнює, що більше відповідає економічному змісту правої сторони обмеження (bi - кількість ресурсів). У Канторовича ж ресурс записується - bi = :bi: - тобто негативним числом, що для економічного складу розуму неприродно ( як може бути ресурсу менше нуля).
По-друге, підсумовування робиться не по всіх способах виробництва, а лише по визначеній їх підмножині (j ( A1), що також відповідає економічним реаліям, коли по технологічним, або іншим причинам не всі способи виробництва беруть участь у якому конкретному обмеженні.
Аналогічно і з ресурсами, в обмеженні беруть участь не всі ресурси відразу , а яка їхня підмножина (i ( I).
Введенням підмножин не обмежилося удосконалювання методу лінійної оптимізації. Потреби практики змусили розробити ще цілий ряд прийомів і методів для різних випадків опису реалій господарської практики у виді обмежень. Це такі прийоми, як запис обмежень по використанню виробничих ресурсів, запис обмежень по гарантованому об'ємі робіт або виробництва продукції, прийоми моделювання при невідомих значеннях показників і багато хто інші, на котрих тут не варто зупинятися.
Ціль усіх цих прийомів - дати більш розгорнуту модель якогось явища з господарської практика, зекономивши при цьому на кількості змінних і обмежень.
Незважаючи на широту застосування методу лінійного програмування, він враховує лише три особливості економічних задач - велика кількість перемінних, обмеженість ресурсів і необхідність цільової функції. Звичайно, багато задач з іншими особливостями можна звести до лінійної оптимізації, але це не дає нам права випустити з уваги інший добре розроблений метод математичного моделювання - динамічне програмування. По суті, задача динамічного програмування є описом багатокрокових процесів прийняття рішень. Задача динамічного програмування можна сформулювати в такий спосіб :
є деяка кількість ресурсу х, що можна використовувати N різними способами. Якщо позначити через хi кількість ресурсу, використовувана i-m способом, то кожному способові зіставляється функція корисності (хi), що виражає прибуток від цього способу. Передбачається, що всі прибутки вимірюються в однакових одиницях і загальному прибутку дорівнює сумі прибутків, отриманих від використання кожного способу.
Тепер можна поставити задачу в математичній формі. Знайти
max y1(x1)+ y2(x2)+ ... + yn(xn) (4)
(загальний прибуток від використання ресурсів усіма способами) при умовах:
- що виділяються кількості ресурсів невідємні;
[1] x1 > 0,... , x > 0
- загальна кількість ресурсів дорівнює x .
[2] x1 + x2 + ... + x = x
Для загальної задачі можуть бути побудовані рекурентні співвідношення
¦1(x) = max {j1(x1)}, (5)
0 <=X1<= X
¦k(x) = max {jk(xk)+ ¦k-1(x - xk)}. (6)
до = 2,3,... , N,
за допомогою яких знаходиться її рішення.
При виводі цих рекурентних співвідношень, по суті, використовувався наступний принцип, оптимальна стратегія володіє тим властивістю, що стосовно будь-якого початкового стану після деякого етапу вирішення сукупність наступних рішень повинна складати оптимальну стратегію. Цей принцип оптимальності лежить в основі всієї концепції динамічного програмування. Саме завдяки йому вдасться при наступних переходах випробувати не всі можливі варіанти, а лише оптимальні виходи. Рекурентні співвідношення дозволяють замінити надзвичайні-трудомісткі обчислення максимуму по N перемінним у вихідній задачі рішенням N задач, у кожній із який максимум знаходиться лише по однієї перемінної.
Таким чином, метод динамічного програмування дозволяє врахувати таку важливу особливість економічних задач, як детермінованість більш пізніх рішень від більш ранніх.
Крім цих двох, досить детально розроблених методів, в економічних дослідженнях останнім часом стали застосовуватися множина інших методів.