Елементи квантової фізики (стр. 5 из 13)
Хвильова функція, яка описує квантовий рух частинки в потенціальному ящику має вигляд:
(1.45)При підстановці (1.45) в (1.38) одержуємо тотожність:
.Звідки
(1.46)тобто енергія Е електрона в потенціальному ящику не може бути довільною. Вона набуває лише дискретних власних значень Е(n). Імовірність виявити в межах потенціального ящика електрон з іншою енергією, ніж (1.46) дорівнює нулю.
Енергетичний спектр і густина імовірності частинки в потенціальному ящику показана на рис. 1.6.
 |
Рис.1.6
Число n в формулі (1.46) визначає вид хвильової функції і енергію частинки в стані з цією хвильовою функцією, називається квантовим числом. Покажемо, що для частинки в потенціальному ящику можливі лише такі енергетичні рівні, на яких викладається ціле число півхвиль де Бройля. При аналізі граничних умов було показано, що kl=np, де
- хвильове число хвиль де Бройля. З урахуванням останнього маємо: 
(1.47)Співвідношення (1.47) показує, що в потенціальному ящику можливі лише такі стани частинки, при яких на ширині потенціального ящика l вкладається ціле число півхвиль де Бройля (Рис.1.7).
 |
Рис 1.7
Незбуреному стану частинки відповідає енергія
(1.48)Значення цієї енергії Е1>0 свідчить про те, що частинка в потенціальному ящику ніколи не зупиняється і що невизначеність DРх імпульсу частинки не може бути меншою за величину
(1.49)Однак в потенціальному ящику шириною l положення частинки визначається похибкою, яка співрозмірна з шириною ящика Dх»l
Тому
Dх.DРх³p 
, (1.50)
що перебуває у повній відповідності із співвідношенням невизначеностей імпульс - координата.
Покажемо, як залежить ширини енергетичного інтервалу DЕ від розмірів потенціального ящика. У потенціальному ящику з розмірами l=10-9м. Власні значення енергії електрона утворюють послідовність енергетичних рівнів, енергетична відстань між якими дорівнює
DE=En+1-En.
Або
Дж.В електрон-вольтах ця енергія дорівнює
Коли ширина потенціального ящика співрозмірна з розмірами атома, енергетичний інтервал між сусідніми енергетичними рівнями досить значний, а спектр є дискретним.
У випадку, коли потенціальний ящик має мікроскопічні розміри l»10-2м., енергетичний інтервал між сусідніми рівнями дорівнює
Дж=0,34.10-14(2n+1) eB.Для такого потенціального ящика квантуванням енергії можна знехтувати. Вона нічим не відрізняються від значень енергії, одержаних класичними методами.
Аналогічні результати можна одержати для великих квантових чисел n. У цьому випадку проявляється принцип відносності, встановлений Бором у 1923р.
При великих квантових числах висновки і результати квантової механіки збігаються з відповідними класичними результатами.
1.3.3. Гармонічний квантовий осцилятор.
Просторово-обмеженим є також рух квантового осцилятора. З класичної точки зору осцилятором може бути будь-яка матеріальна точка, яка здійснює гармонічні коливання під дією квазіпружної сили.
F=-kx, де k=m
(1.51)Потенціальна енергія класичного осцилятора знаходиться за формулою
де m - маса частинки;
- циклічна частота осцилятора. 
Графічна залежність енергії класичного осцилятора показана на рис.1.8.Рис. 1.8
.
З рисунка видно, що осцилятор може мати практично довільну енергію, навіть рівну нулю. В точках -а і +а кінетична енергія осцилятора дорівнює нулю, а потенціальна енергія досягає свого максимуму. За межі області (-а, +а) класичний осцилятор вийти не може.
Квантовим осцилятором може бути лише елементарна частинка, яка поряд з корпускулярними властивостями проявляє і хвильові властивості. Прикладом квантового осцилятора може бути коливний рух атомів і молекул у вузлах кристалічної гратки. Потенціальна енергія квантового осцилятора має таку ж математичну залежність, що і класичний осцилятор (1.52).
Стаціонарне рівняння Шредінгера для лінійного гармонічного осцилятора має вигляд:
(1.53) де m - маса квантової частинки;
- циклічна частота; Е - повна енергія частинки.Знаходження хвильових функцій квантового осцилятора є досить складною математичною задачею. Тому, опускаючи такі розв’язки, наводимо енергетичний спектр квантового осцилятора. Він має вигляд
(1.54)де n= 0,1,2,3,..... - любе ціле число, починаючи з нуля;
- циклічна частота; 
- стала Дірака.Аналіз рівняння (1.54) показує, що енергетичний спектр квантового осцилятора є дискретним і що власні значення енергії дорівнюють:
В енергетичному спектрі (1.54) проміжки між енергетичними рівнями не залежать від квантового числа n, а є однаковими
(1.55)Як показано на рис. 1.9, де енергетичний спектр квантового осцилятора суміщається з аналогічним спектром класичного осцилятора, квантовий осцилятор не має значень енергії, рівних нулю.
Найменше значення енергії квантового осцилятора дорівнює
(1.56)Меншої енергії квантовий осцилятор не може мати навіть при абсолютному нулі температур.
Рис. 1.9
Покажемо наближеним способом, що енергія квантового осцилятора квантується. З рис 1.10 видно, що на відрізку l=2х0вкладається ціле число півхвиль де Бройля, тобто
(1.57)
 |
Рис 1.10
де
- середнє значення довжини хвилі де Бройля.Звідки
(1.58)Середнє значення імпульсу кванта хвилі де Бройля
(1.59)Середня кінетична енергія такого осцилятора
(1.60)Відомо, що повна енергія Е перевищує середнє значення кінетичної енергії в два рази, тобто
(1.61)З іншої точки зору повна енергія квантового осцилятора дорівнюватиме максимальній потенціальній енергії
(1.62)Перемножимо рівності (1.61) і (1.62)
(1.63)Або
(1.64)В межах точності наших міркувань
»1, тому 
(1.65)