Елементи квантової фізики (стр. 6 из 13)
де n =1,2,3,... - цілі числа.
Наближений розрахунок показує, що енергія квантового осцилятора набуває ряду дискретних значень, тобто квантується.
Точне значення енергії квантового осцилятора для не збудженого, нульового рівня можна одержати із рівняння Шредінгера (1.53), якщо згідно рис. (1.10) скористатись функцією Гаусса, яка дорівнює
(1.66)де а - стала величина, яку слід визначити.
Другу похідну від (1.66) підставимо в (1.53)
звідки
. (1.67)Тотожність (1.67) має місце при рівності коефіцієнтів при х2 і вільних членів, тобто
(1.68)Система рівнянь (1.68) дає значення енергії Е і сталої величини а
(1.69)Таким чином функція Гаусса є розв’язком рівняння Шредінгера (1.53) лише за умови, коли
.В цьому випадку
. (1.70)
Слід відмітити, що так як відстань між суміжними рівнями енергії квантового осцилятора дорівнює
то з урахуванням 
одержуємо енергетичний спектр квантового осцилятора у вигляді 
(1.71)
де n = 0,1,2,3....
1.3.4.Проходження частинки крізь потенціальний бар’єр. Тунельний ефект.
Класична частинка не може перебувати в тих місцях, де її потенціальна енергія U(x) перевищувала б повну енергію частинки E. Щодо квантової частинки, то вона має таку властивість із-за того, що існує відмінна від нуля імовірність проникнення її крізь потенціальний бар’єр, тобто в область, де U(x) > E
Проведемо оцінку цієї імовірності шляхом розв’язування наступної задачі. Нехай квантова частинка з масою m, рухаючись в напрямі осі х, вдаряється в потенціальний бар’єр кінцевої висоти U0, тобто
причому енергія частинки e менша висоти бар’єра U0, (рис. 1.11).
Рис. 1.11
В області потенціального бар’єра рівняння Шредінгера для стаціонарних станів набуде вигляду
(1.72)Якщо позначити вираз
через 
, то рівняння (1.72) перепишеться 
. (1.73)Розв’язком рівняння (1.34) може бути функція
, (1.74)де А і В - деякі константи, і - уявна одиниця.
Експонента з додатним знаком фізичного змісту не має і може бути відкинута, так як не повинно бути зростання імовірності в області потенціального бар’єра. Тому в області потенціального бар’єра (х>0), хвильова функція частинки Yx визначається рівністю
Yx = Be-i 
x (1.75)
Коефіцієнт В у виразі (1.75) пов’язаний з інтенсивністю променя частинок, які рухаються в напрямі бар’єра, а тому задається довільно. Як правило х>0 координати частинок розподіляються з густиною імовірності
, (1.76)де w(0) дорівнює значенню |Yx|2 при х=0.
Рівняння (1.76) показує, що із збільшенням глибини проникнення в область потенціального бар’єра, густина імовірності w(х) зменшується експоненційно. Це зменшення буде тим швидше, чим більша різниця енергій U0 - E.
Знайдемо глибину проникнення елементарної частинки в область потенціального бар’єра при умові, що m = 9,1 10-31кг (електрон), U0 - E = 10-4 eB, а густина імовірності w(х) на цій відстані зменшується в е разів
.Ця відстань перевищує на два порядки діаметр атома водню. Глибина проникнення зменшується на порядок, якщо різниця енергій U0 - E зросте до 10-2 еВ.
Здатність квантових частинок проникати в область потенціального бар’єра приводить до тунельного ефекту. Його суть полягає в проникненні частинки із однієї області в іншу область, які поділені потенціальним бар’єром навіть в тих випадках, коли енергія частинки Е менше висоти потенціального бар’єра U0.
Таке проходження частинки виявляється можливим дякуючи існуванню під бар’єром хвильової функції, яка «прокладає» шлях частинки на будь-яку відстань. Тунельний ефект є головною причиною a - розпаду радіоактивних ядер.
2. Фізика атомів і молекул
2.1. Атом водню
2.1.1. Використання рівняння Шредінгера до атома водню.
Хвильова функція. Квантові числа.
2.1.2. Енергія атома водню і його спектр. Виродження рівнів.
Правила відбору.
2.1.3. Механічний і магнітний моменти атома водню.
2.1.1.Використання рівняння Шредінгера до атома водню.
Хвильова функція. Квантові числа.
Теорія Бора будови і властивостей енергетичних рівнів електронів у воднево подібних системах знайшла своє підтвердження в квантовій механіці. Квантова механіка також стверджує, що:
a) електрони в атомах водню знаходяться лише в дискретних енергетичних станах. При переході електронів із одних станів в інші випромінюється або поглинається фотон;
б).не існує певних колових орбіт електронів. В силу хвильової природи електрони «розмиті» в просторі подібно до хмарки негативного заряду. Розміри і форму такої хмарки в заданому стані можна розрахувати.
Розглянемо рух електрона в кулонівському полі ядра з зарядом Ze, потенціальна енергія якого виражається формулою
, (2.1.1)де r - відстань між електроном і ядром.
Стан електрона в атомі водню або воднево подібному атомі описується деякою хвильовою функцією Y, яка задовольняє стаціонарному рівнянню Шредінгера:
, (2.1.2)де
- оператор Лапласа; Е - значення повної енергії електрона в атомі; m - маса частинки; 
(x,y,z) - хвильова функція в декартові системі координат. 
Для розв’язування рівняння Шредінгера (2.1.2), тобто знаходження виду хвильової функції для електрона в атомі водню слід перейти від декартових координат до сферичних. В цьому випадку зв’язок між параметрами цих систем координат визначається з рис.2.1.Рис.2.1.
Співвідношення, які зв’язують координати x,y,z декартової прямокутної системи координат з сферичними координатами r, q, j наступні:
(2.1.3)Таким чином можна вважати, що хвильова функція y електрона в атомі водню залежить від сферичних координат, тобто y=y(r, q, j).
Опустивши не складні, але досить громіздкі перетворення переходу від декартової системи координат до сферичної, одержимо:
.(2.1.4)
Якщо розглядати основний (не збуджений) стан атома водню, то другою і третьою складовими в рівнянні (2.1.4) можна знехтувати. Електрон в такому стані рухається лише по коловій траєкторії, і хвильова функція не залежить від q і j. Тому
. (2.1.5)Хвильова функція y електрона в основному стані (2.1.5) є функцією лише r, тобто y=y( r). Такий стан називається s-станом; він має сферично-симетричний характер. Імовірність виявити електрон у заданій точці атома - залежатиме лише від r. Умовам стаціонарного стану відповідає легко диференціруєма центральносиметрична функція, яка має вигляд:
, (2.1.6)де a - деяка стала величина, яка має розмірність довжини.