Устойчивость (стр. 1 из 3)

Реферат

По физике

УСТОЙЧИВОСТЬ

Лекция 14.

Будем называть равновесное состояние устойчивым, если оно мало изменяется при малых возмущениях.

Приведём некоторые примеры.

1. Тяжелый шар на поверхности, имеющей вершины, впадины и горизонтальные участки.

В том случае, когда шарик находится на вершине, составляющая силы тяжести Т, возникающая при его отклонении, уводит его от первоначального состояния, для шарика, находящегося во впадине сила Т будет возвращать отклонённый шарик в первоначальное состояние и он будет колебаться в окрестности наиболее низкой точки впадины, т.е. при малых отклонениях состояние шарика будет также меняться мало. Случай шарика, находящегося на горизонтальной поверхности, будет случаем разграничивающим рассмотренные выше не устойчивые и устойчивые равновесные состояния. Такое состояние называется безразличным.

2. Хорошо знакомую картину разрушение образца при растяжении с образованием шейки можно трактовать, как потерю устойчивости цилиндрической формы образца.

По мере приближения состояния образца становится неустойчивой, образуется шейка и малым изменениям силы соответствуют значительные изменения конфигурации системы.

Рис. 98

3. Центрально сжатый гибкий стержень

Предполагается, что стержень идеально прямой, а сила прилаженная строго по оси (что, конечно, практически невозможно).

Для того, чтобы судить устойчиво ли данное равновесное состояние, надо приложить горизонтальную возмущающую силу, которая вызовет прогиб. Если сила Р невелика, то прогиб окажется малым, равновесное состояние (прямолинейное) фактически не изменится . Однако если сила Р превысит некоторое значение называется критическим (F кр ), то равновесное состояние становится неустойчивым, т. е. любые малые возмущения приведут к значительным прогибам. Зависимость между прогибом и силой показана действительное поведение стержня, которое можно обнаружить с помощью нелинейных решений, сплошной чертой показано грубое, линейное решение задачи.

Задача Эйлера

Рассмотрим центрально сжатый шарнирно закрепленный с обоих концов стержень. Эта задача была решена Л. Эйлером.

Существо задачи состоит в том, что задача об устойчивости по отношению к заданному возмущению подменяется задачей о возможности существования двух различных форм равновесия при одном и том же значении силы F. Очевидно, что прямолинейная равновесная форма возможна (y = 0). Допустим, что наряду с прямолинейной равновесной формой возможна и криволинейная равновесная форма, показанная на рисунке.

Кривизна стержня на основании закономерности известной из теории изгиба выразится

Будем полагать, что угол поворота y’ – величина малая по сравнению с единицей и тем более мал квадрат этой величины по сравнению с единицей

Изгибающий момент в произвольном сечении с координатой Z:

(знак минус увязывает прогиба и кривизны).

Дифференциальное уравнение изогнутой оси выглядит

или

(1)

Решение этого дифференциального уравнения хорошо известно

Из граничных условий попробуем найти произвольные постоянные

C₁и С₂

1) при Z=0:

2) при Z=

Возможны две ситуации

C₁=0, откуда y

0, т. е. получаем прямолинейную равновесную форму,

Sin K

N) подставим в (1) выражение R²=

откуда найдем значение силы, при которой помимо прямолинейной равновесной формы появляется смежная криволинейная равновесная форма

реальный смысл имеет наименьшее значение силы при n=1 эйлерова сила – критическая сила.

F_кр=

Очевидно, что I_x – минимальный момент инерции.

Потери устойчивости будет происходить по синусоиде y = C₁Sin

однако произвольную C₁ мы так и не смогли найти.

Дело в том, что задача о потере устойчивости задача существенно нелинейно, а мы поступили непоследовательно. С одной стороны мы подошли к задаче как нелинейной, отойдя от принципа начальных размеров, и определив изгибающий момент с учетом изгиба стержня. С другой стороны, приняв приближенное выражение для кривизны, мы линеаризовали задачу. Для того, чтобы определить прогибы в закритической стадии надо исходить из нелинейного дифференциального уравнения.

Однако главная цель – определение критической силы для стержня нами достигнута.

Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы

Формула (2) даёт возможность определить критическую силу только в том случае шарнирного опирания обоих концов стержня. Обобщим полученный результат на некоторые другие часто встречающиеся случаи закрепления.

а). Стержень, закреплённый жёстко одним концом и свободный от закрепления на другом. Очевидно изгиб стержня в этом случае будет таким же, как и в случае шарнирно опертого стержня, но имеющего длину в 2 раза большую.

Критическая сила в этом случае будет равна критической силе шарнирно опёртого стержня, имеющего длину 2

Введём понятие коэффициента привидения длины -

, т. е. числа показывающего во сколько раз нужно увеличить длину шарнирно опёртого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной

при заданном закреплении.

Очевидно, что в нашем случае коэффициент

можно трактовать , как число показывающее сколько раз длина стержня укладывается в длине полуволны синусоиды, по которой происходит потеря устойчивости.

Обобщим формулу Эйлера

(3)

Для некоторых других случаев закрепления коэффициент приведения длины равен:

Рис. 102

Пределы применимости формулы Эйлера

Формула Эйлера выведена в предположении, что материал линейно упруг, и, естественно, применила, в тех случаях пока справедлив закон Гука.

Придадим формуле (3) иной вид.

Введём понятие критического напряжения, т. е. напряжения соответствующего критической силе.

;

(4)

но

где

- минимальный радиус инерции сечения.

Введём ещё одну величину – гибкость стержня.

, тогда

Тогда можно оказать, что формула Эйлера справедлива, если критические напряжения не превышают предела пропорциональности при сжатии.

Выясним при каких гибкостях можно использовать формулу Эйлера .

Приравняем в (4)

Если

, то можно использовать формулу (3)

Для малоуглеродистых сталей, особенно часто используемых для сжатых элементов:

МПа, E = 2*10⁵МПа тогда,