Вынужденные колебания. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики (стр. 2 из 3)

Таким образом, подкоренное выражение (и, соответственно, амплитуда колебаний) принимает экстремальное значение при:

и	(12)
.	(13)

Если производная

, при подстановке корня (12) и (13) будет положительна, то в этом случае подкоренное выражение будет минимальным, а амплитуда – максимальной. Вторая производная от подкоренного выражения равна:

Значение этой производной при

равно а при , равно . Учитывая, что в колебательных системах, как правило, , видим, что максимуму амплитуды соответствует частота вынуждающей силы .

Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при определённой частоте вынуждающей силы называется резонансом.

Таким образом, резонансная частота равна

(14)

Учитывая это значение, по (10) и (11) находим резонансные значения сдвига фаз и амплитуды колебаний:

	(15)
	(16)

Из (15) и (16) видно, что при отсутствии трения (

) амплитуда колебаний при резонансе неограниченно возрастает, а сдвиг фаз между смещением и фазой вынуждающей силой равен .

Для вынужденных колебаний вводят, так называемые, амплитудо-частотные (зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы) и фазово-частотные (зависимость сдвига фаз от частоты вынуждающей силы) характеристики. Графически эти зависимости при различных значениях

приведены на рисунках 5 и 6:

Рис.5 Амплитудно-частотные характеристики	Рис.6 Фазово-частотные характеристики

Отметим здесь, что в отсутствие трения изменение фазы вынужденных колебаний на величину

происходит скачком при . Учет трения размазывает этот скачок.

При установившемся движении, когда система совершает вынужденные колебания по закону (7), ее энергия, очевидно, остается неизменной. Однако при этом внешняя сила непрерывно совершает работу над системой. Иными словами, система непрерывно поглощает (от источника внешней силы) энергию, которая, в конечном счете, диссипируется в тепло благодаря наличию трения.

Пусть

обозначает количество энергии, поглощаемой системой в среднем в единицу времени, как функция частоты вынуждающей силы. Эта величина, как известно, равна работе внешней силы за единицу времени, то есть мощности (усредненной затем по времени):

, или

(17)

Отсюда, согласно уравнению движения,

(18)

Здесь, в (17) и (18), символ

обозначает работу.

При усреднении по времени первое и третье слагаемые в этом выражении, будучи произведениями синуса на косинус, очевидно, дают нуль. В результате остается лишь вклад от второго слагаемого

(19)

Подставляя сюда (8), получаем:

(20)

Производя усреднение по времени, заметим, что второе слагаемое зануляется, поэтому:

(21)

Подставляя сюда (11), получим:

(22)

Исследуем это выражение на экстремумы. Очевидно, что экстремальное значение оно примет при экстремальном значении знаменателя. Производная от знаменателя обращается в нуль при

.

Вблизи резонанса

амплитуда определяется формулой (16). Введём величину , характеризующую частотную pасстpойку относительно резонанса и равную . В итоге получаем:

Таким образом:

(23)

Такой вид зависимости поглощения от частотной расстройки относительно резонанса называют дисперсионным. Полушириной резонансной кривой (см. рис. 7)

называется значение , при котором величина уменьшается вдвое по сравнению с ее максимальным значением при .

Рис. 7 Резонансная кивая поглощения

Из формулы (23) следует, что в pассматpиваемом случае

. С другой стороны, высота максимума

(24)

обратно пpопоpциональна

. Поэтому при уменьшении трения резонансная кривая становится уже и выше, то есть ее максимум становится более острым. Однако площадь под резонансной кривой остается при этом неизменной.

Линейность уравнений движения, описывающих вынужденные гармонические колебания (с трением и без него), приводит к тому, что оказывается справедливым, так называемый, принцип суперпозиции колебаний.

Пусть, например, на систему, совершающую колебательное движение, действует внешняя сила, зависящая от времени и представляющая собой суперпозицию двух сил

(25)

Это могут быть, напpимеp, периодические по времени функции с различными частотами

и . Уравнение движения тогда запишется в виде: