Оптична нестабільність кристалів (стр. 5 из 8)
де
- Фур’є-компонента часової запізнюючої функції Гріна 
(4)
Права частина рівності при слабкому екситон-фононному зв’язку задовольняє рівнянню Дайсона:
G( 
, (5)
(6)
- масовий оператор екситонів, який у загальному випадку є комплексною функцією частоти.
– описує внесок процесів лінійної взаємодії екситонів з оптичними фононами; 
- описує внесок нелінійної взаємодії екситонів із хвилями згину. 
(7)
- дійсна частина масового оператору, визначає зміну енергії екситону (тобто зсув екситонного рівня), 
- описує лінійну складову, а 
- нелінійну. 
- уявна частина масового оператору, пов’язана зі згасанням екситонного збудження внаслідок взаємодії з фононами і визначає півширину спектральної лінії.Тоді функція форми екситонного поглинання згідно з теорією екситонного поглинання визначається як
. (8)Величина поглинання в системі у наближенні слабкого екситон-фононного зв’язку і збудженням найнижчого екситонного стану, має наступний вигляд
, (9)де D0 – параметр екситон-фотонної взаємодії.
Для прикладу розрахуємо масовий оператор лінійної взаємодії екситонів з оптичними фононами. Відповідно до рівняння (8), запізнюючу функцію Гріна можна представити набором більш простих, згідно з методом Боголюбова-Тяблікова:
.Складаємо систему зчіплюючих рівнянь і обриваємо її на величинах, пропорційних квадрату функції екситон-фононного зв’язку.
(10) 
,За традиційною схемою, що ґрунтується на послідовному диференціюванні функції Гріна, продиференціювавши
за виразами (10) та 
, отримаємо рівняння руху для даної функції 
,де
- функції Гріна більш високого порядку. 
, 
.Продиференціюємо
і 
(11)Більш складніші функції Гріна
(12)
При диференціюванні й далі будуть отримуватися рівняння, що містять функції Гріна ще більш високих порядків, тобто отримується безкінечна система рівнянь [22].
Обриваємо цей безкінечний ланцюг і здійснюємо спарювання однотипних операторів, які належать до одного моменту часу, згідно теореми Віка.
Тут
– густина оптичних фононів з квазіімпульсом 
, 
- густина екситонів з квазіімпульсом 
, а 
Якщо
, тоді 
Підставивши знайдені значення у рівняння (12), переходимо до Фур’є-образу функції Гріна
З цієї системи рівнянь можна визначити необхідну функцію Гріна
- масовий оператор екситон-фононної системи. 
. (13)
Зараз знайдемо величини півширини та зсуву екситонного рівня.
Проаналізувавши вираз (13), для дійсної частини масового оператора отримаємо
. (14)Уявна частина масового оператору запишеться
, (15)де
.Для безпосереднього розрахунку величини зсуву та півширини екситонної спектральної лінії, перейдемо у виразах (14) та (15) від сумування по квазіімпульсу до інтегрування по безрозмірному параметру
( 
– постійна гратки кристала).Із врахуванням того, що
- тримірний вектор, то правило переходу набуде вигляду 
Обмежимо розгляд екситонів першої найнижчої зони із квадратичним законом дисперсії
, (16)які взаємодіють із довгохвильовим електромагнітним випромінюванням (
.У виразі (16)
– ширина екситонної зони, 
- ефективна маса екситона.Здійснюючи перехід до інтегрування з урахуванням всіх вище зазначених наближень, отримаємо:
. (17)
Нормуємо всі енергетичні величини на ширину екситонної зони L і перейдемо до таких безрозмірних параметрів: