Сборник задач по расчету погрешностей электрических измерений (стр. 4 из 7)

D_гр = D_п (1 –

) = 0,0045 В;

Ответ 2: (– 0,0045; +0,0045) В; Р = 0,99.

2.4. Погрешность измерения тока D является суммой пяти независимых случайных составляющих D₁…D₅, каждая из которых подчиняется закону равномерной плотности распределения. Интервалы распределения D₁...D₅ соответственно — (–5,0; –3,0) мкА, (–3,0; –1,0) мкА, (–1,0; +1,0) мкА, (+1,0; +3,0) мкА, (+3,0; +5,0) мкА. Определить доверительные интервалы D для двух значений доверительной вероятности — Р₁ = 1 и Р₂ = 0,99.

Решение:

Р₁ = 1

Интервал распределения D, (D_н, D_в), является

доверительным интервалом для Р₁ = 1;

D_н = D_н1 + D_н2 + D_н3 + D_н4 + D_н5 =

= (–5,0 – 3,0 – 1,0 + 1,0 + 3,0) мкА = –5,0 мкА,

D_в = D_в1 + D_в2 + D_в3 + D_в4 + D_в5 =

= (–3,0 – 1,0 + 1,0 + 3,0 + 5,0) мкА = 5,0 мкА.

Ответ 1: (–5,0; +5,0) мкА; Р = 1.

Р₂ = 0,99

Закон распределения D близок к нормальному с

параметрами М(D) и s;

D_н = М(D) – z_ps;

D_в = М(D) + z_ps;

z_p — квантиль нормального распределения,

z_p= 2,58 для Р = 0,99;

М(D) = М(D₁) + М(D₂) + М(D₃) + М(D₄) + М(D₅);

М(D_i) = (D_{в i} + D_{н i}) / 2, i = 1,2,…5;

М(D) = (– 4 мкА) + (–2 мкА) + 0 + 2 мкА + 4 мкА = 0;

s² = s₁² + s₂² + s₃² + s₄² + s₅²;

s_i² = (D_{в i} – D_{н i})² / 12 = (1 / 3) мкА², i = 1,2,…5;

s =

мкА» 1,3 мкА;

D_в = –D_н» 3,3 мкА.

Ответ 2: (–3,3; +3,3) мкА; Р = 0,99.

Задачи для самостоятельного решения

2.5. Случайная погрешность измерения напряжения распределена по закону равномерной плотности и имеет математическое ожидание, равное нулю. Вероятность того, что значение погрешности превысит 1,8 мкВ, равна 0,2.

Определите дисперсию погрешности.

2.6. Случайная погрешность измерения напряжения распределена по закону равномерной плотности. Значения математического ожидания и дисперсии погрешности равны соответственно 9 мВ и 27 мВ².

Определите вероятность того, что погрешность не превысит по модулю 6 мВ.

2.7. Случайная погрешность измерения напряжения распределена по закону равномерной плотности. Известны вероятности того, что значение погрешности не превысит 200 и 300 мкВ. Они соответственно равны 0,25 и 0,5.

Определите дисперсию погрешности.

2.8. Случайная погрешность измерения напряжения распределена по закону равномерной плотности. Вероятность того, что значение погрешности не превысит 100 мкВ, равна 0,1. Вероятность того, что значение погрешности превысит 500 мкВ, тоже равна 0,1.

Определите математическое ожидание погрешности.

2.9. Случайная погрешность измерения напряжения распределена по закону равномерной плотности. Нижняя граница интервала распределения имеет нулевое значение. Среднеквадратическое значение равняется 3,5 мкВ.

Определите вероятность того, что погрешность не выйдет за пределы интервала [6…15] мкВ.

2.10. Случайная погрешность измерения напряжения распределена по закону равномерной плотности. Известны значения плотности вероятности и математического ожидания: соответственно 2мВ^-1 и –100 мкВ.

Определите вероятность того, что значение погрешности по модулю превысит 100 мкВ.

2.11. Случайная погрешность измерения напряжения D распределена по закону Симпсона с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением равными соответственно нулю и 0,4 мВ.

Определите вероятность попадания D в интервал [–1,0 мВ; 1,0 мВ].

2.12. Случайная погрешность измерения напряжения D распределена по закону Симпсона. Математическое ожидание D равняется нулю. Вероятность того, что ½D½ > 0,9 мВ, равняется 0,01.

Определите максимально возможное значение D.

2.13. Случайная погрешность измерения напряжения D распределена по закону Симпсона. Математическое ожидание D равняется нулю. Максимальное значение плотности вероятности равняется 4 мВ^-1.

Определите дисперсию погрешности D.

2.14. Случайная погрешность измерения напряжения D распределена по закону Симпсона. Ее максимальное значение равняется 2,0 мВ. Математическое ожидание погрешности равняется нулю.

Определите вероятность попадания D в интервал [–1,0 мВ; 1,0 мВ].

3. ОЦЕНИВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ С ОДНОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ

Примеры

3.1. К выходу источника напряжения подключен вольтметр, показание которого U = 10,00 В. Измерение выполняется при температуре окружающей среды Т = 25 ^оС.

Характеристики источника напряжения: форма напряжения — синусоидальная, частота f = 1500 Гц, выходное сопротивление R_и £ 1 Ом.

Характеристики вольтметра: класс точности 0,2; диапазон показаний — (0…15) В; нормальная область значений температуры — (20 ± 2) ^оС; рабочая область значений температуры — (10…35) ^оС; нормальная область значений частоты — (45…1000) Гц; рабочая область значений частоты — (20…2000) Гц; R_V = 200 Ом; C_V не нормируется (т.е. входное сопротивление вольтметра в диапазоне рабочих частот можно считать чисто активным).

Полагая, что погрешность отсчитывания пренебрежимо мала, представить результат измерения в виде двух доверительных интервалов для доверительных вероятностей, равных 1 и 0,95.

Решение:

P = 1

D_п = D_вз.п + D_о.п + D_т.п + D_fп;

D_вз= – U (R_и/ R_V);

D_вз.н = – U (R_{и max} / R_V) = – 0,05 В;

D_вз.в = – U (R_{и min} / R_V) = 0 В;

D_вз.п = (D_вз.в – D_вз.н) / 2 = 0,025 В;

h = – (D_вз.в + D_вз.н) / 2 = 0,025 В;

U¢ = U + h = 10,025 В;

D_о.п = g_о.п (U_N / 100 %) = 0,03 В;

D_т.п = (D_о.п / 10 ^оС)½Т – Т_н½= 0,015 В;

D_{f п} = D_о.п = 0,03 В;

D_п = 0,100 В.

Ответ 1: (10,03 ± 0,10) В; Р=1.

P = 0,95

D_гр(Р) = K_P

= 0,0566 В.

Ответ2: (10,025 ± 0,057) В; Р = 0,95.

3.2. К выходу источника постоянного тока с внутренним сопротивлением R_и = 5 Ом подключен амперметр, показание которого a = 50,5 дел. (отсчет выполнен с округлением до 1/2 дел.). Измерение выполняется при температуре окружающей среды Т = 10 ^оС.

Характеристики амперметра: класс точности 0,5; диапазон показаний — (0…2)А; шкала содержит 100 делений; нормальная область значений температуры — (20 ± 5) ^оС; рабочая область значений температуры — (10…35) ^оС; R_А = (0,100 ± 0,050) Ом.

Представить результат измерения в виде двух доверительных интервалов для доверительных вероятностей, равных 1 и 0,99.

Решение:

P = 1

D_п = D_вз.п + D_о.п + D_т.п + D_отс.п;

c_I = I_к / а_к = 0,02 А/дел.;

I = c_Ia = 1,010 А;

D_вз= – I ( R_A / R_и );

D_вз.н= – I ( R_{A max} / R_и ) = – 0,0303 А;

D_вз.в= – I ( R_{A min} / R_и ) = – 0,0101 А;

D_вз.п = (D_вз.в – D_вз.н) / 2 = 0,0101 А;

h = – (D_вз.в + D_вз.н) / 2 = 0,0202 А;

I¢ = I + h = 1,0302 A;

D_о.п = g_о.п (I_N / 100 %) = 0,01 А;

D_т.п = (D_о,п / 10 ^оС)½Т – Т_н½= 0,01 А;

D_отс.п = 0,5 q = 0,5 × 0,5 ×c_I = 0,005 А;

D_п = 0, 0351 А.

Ответ 1: (1,030 ± 0,035) А; Р = 1.

P = 0,99

D_гр(Р) = K_P

= 0,0253 А.

Ответ 2: (1,030 ± 0,025) А; Р = 0,99.

3.3. К выходу источника синусоидального напряжения с внутренним сопротивлением R_и = 5 кОм подключен вольтметр, показание которого U = 5,00 В. Измерение выполняется при нормальных условиях.

Характеристики вольтметра: класс точности 0,5; диапазон показаний (0…10) В; R_V³ 1 МОм; x_C,V³ 50 кОм.

Полагая, что погрешность отсчитывания пренебрежимо мала, представить результат измерения в виде доверительного интервала для доверительной вероятности, равной 1.

Решение:

P = 1

D_п = D_вз.п + D_о.п;

D_вз = – U [R_и / R_V + 0,5 (R_и / x_C,V)²];

D_вз,н = – U [R_и / R_{V min} + 0,5 (R_и / x_C,Vmin)²] = – 0,05 В;

D_вз,в = 0 В;

D_вз.п = (D_вз.в – D_вз.н) / 2 = 0,025 В;

h = – (D_вз.в + D_вз.н) / 2 = 0,025 В;

U¢ = U + h = 5,025 В;

D_о.п = g_о.п (U_N / 100 %) = 0,05 В;

D_п = 0,075 В.

Ответ: (5,025 ± 0,075) В; Р = 1.

3.4. К выходу источника постоянного напряжения с внутренним сопротивлением R_и = (100 ± 10) кОм подключен цифровой вольтметр, показание которого U = –1,5371 В. Измерение выполняется при температуре окружающей среды Т = 35 ^оС.

Характеристики вольтметра: класс точности 0,1/0,05; диапазон показаний (0…–2) В; нормальная область значений температуры (20 ± 2) ^оС; рабочая область значений температуры (0…40) ^оС; К_вл.т = D_о.п / 20 ^оС; R_V = (10,0 ± 0,5) МОм.