Сборник задач по расчету погрешностей электрических измерений (стр. 6 из 7)

Представьте результат измерения с указанием погрешности для доверительной вероятности, равной 1.

4. ОЦЕНИВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ С ОДНОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ

Примеры

4.1. Последовательно с резистором включен амперметр класса точности 0,5 с диапазоном показаний (0…5) А. Показание амперметра I= 2,000 А; существенна только основная погрешность прибора. Номинальное значение сопротивления резистора R = 1 Ом; предел допускаемого относительного отклонения реального сопротивления от номинального d_R,п = 0,5 %.

Определите мощность рассеяния резистора Р_расс. Представить результат в виде доверительного интервала для доверительной вероятности P = 1.

Решение:

Р_расс = I ²R = 4,000 Вт;

* 1-й способ

Р_расс = I ² R;

D_п = ½¶Р_расс/ ¶I½D_Iп + ½¶Р_расс/ ¶R½D_Rп ;

D_Iп = g_о.п (I_N / 100 %) = 0,025 А;

D_Rп = d_Rп (R / 100 %) = 0,005 Ом;

¶Р_расс/ ¶I = 2 IR = 4,000 В;

¶Р_расс / ¶R = I ² = 4,000 А²;

D_п = 0,12 Вт;

Ответ 1: (4,00 ± 0,12) Вт; Р = 1.

* 2-йспособ

₂

Р_расс = P(a_ix_i^bi); x₁ = I; x₂ = R; a₁ = a₂ = 1; b₁ = 2; b₂ = 1;

^{i =1}

d_п = ½b₁½d_1,п + ½b₂½d_2,п = 2 d_Iп + d_Rп ;

d_Iп = g_о.п(I_N/ I) = 1,25 %;

d_п = 3,0 %;

D_п = d_п ( Р_расс / 100 %) = 0,12 Вт;

Ответ 2: (4,00 ± 0,12) Вт; Р = 1.

4.2. Необходимое электрическое сопротивление цепи в ряде случаев приходится создавать тем или иным соединением двух и более стандартных резисторов.

Пусть имеются два резистора, R1 и R2, со следующими номинальными значениями сопротивления и пределами допускаемого относительного отклонения реального сопротивления от номинального: R₁ = 1 кОм, R₂ = 3 кОм, d_R1п = 0,2 %, d_R2п = 1,0 %.

Определите номинальные значения эквивалентных сопротивлений R_пос и R_пар, соответствующих последовательному и параллельному соединениям резисторов R1 и R2, и пределы допускаемых относительных отклонений реальных эквивалентных сопротивлений от R_пос и R_пар.

Решение:

последовательное соединение

R_пос = R₁ + R₂ = 4 кОм;

D_п = ½¶R_пос / ¶R₁½D_R1п + ½¶R_пос / ¶R₂½D_R2п;

d_п = (d_R1п R₁ + d_R2пR₂) / R_пос = 0,8 %.

параллельное соединение

R_пар = R₁R₂ / (R₁ + R₂) = 0,75 кОм;

* 1-й способ

D_п = ½¶R_пар / ¶R₁½D_R1п + ½¶R_пар / ¶R₂½D_R2п;

d_п = (½¶R_пар / ¶R₁½d_R1п R₁ + ½¶R_пар / ¶R₂½d_R2пR₂) / R_пар;

¶R_пар/ ¶R₁ = [R₂ / (R₁ + R₂)]² = 9/16;

¶R_пар/ ¶R₂ = [R₁ / (R₁ + R₂)]² = 1/16;

d_п = 0,4 %.

* 2-йспособ

Y_пар = Y₁ + Y₂ ; Y₁ = 1 / R₁ ; Y₂ = 1 / R₂;

d_{Yi п} = d_{Ri п}; i = 1,2;

D_Yпар.п = D_Y1п + D_Y2п;

D_Yiп = d_{Y п}Y_i= d_R,п / R_i;

d_п = (D_Y1п + D_Y2п) / Y_пар = (d_R1п/ R₁ + d_R2п/ R₂) R_пар = 0,4 %.

4.3. Угол сдвига фаз между двумя синусоидальными напряжениями измеряется с помощью электронно-лучевого осциллографа методом эллипса. При этом искомый угол рассчитывается по формуле: j = arcsin (H₁ / H₂), где H₁ — расстояние между точками пересечения эллипса с вертикальной секущей, проведенной через центр эллипса, H₂ – высота прямоугольника, в который вписывается эллипс.

Измеренные значения — H₁ = 40 мм, H₂ = 50 мм. Толщина луча осциллографа — b = 1 мм.

Полагая, что существенна только визуальная погрешность измерения (т.е. погрешность измерения расстояний, предельное значение которой D_в.п = 0,4 ×b), представить результат измерения угла сдвига фаз в виде доверительного интервала для доверительной вероятности, равной 1.

Решение:

j = arcsin (H₁ / H₂) » 0,9273 рад;

D_п = ½¶j /¶H₁½D_в1п + ½¶j / ¶H₂½D_в2п;

x = H₁ / H₂;

¶j / ¶H₁ = (¶j / ¶x) (¶x / ¶H₁);

¶j / ¶H₂ = (¶j / ¶x) (¶x / ¶H₂);

¶j / ¶x = (1 – x²) ^-0,5 = 5/3 рад;

¶x / ¶H₁ = 1 / H₂ = 0,02 мм ^-1;

¶x / ¶H₂ = – H₁ / H₂ ² = – 0,016 мм ^-1;

D_в1п = D_в2п = 0,4 мм;

D_п = 0,024 рад;

Ответ: (0,927 ± 0,024) рад; Р = 1.

4.4. Измерение коэффициента усиления усилителя напряжения K_U выполняется с помощью цифрового милливольтметра; при этом измеряются напряжения на входе и выходе усилителя — U_вх1, U_вых1, U_вх2, U_вых2, а значение K_Uвычисляется по формуле: K_U = (U_вых1 – U_вых2) / (U_вх1 – U_вх2).

Измеренные значения напряжений:

U_вх1 = 200,0 мВ, U_вых1 = 605,3 мВ, U_вх2 = 100,0 мВ, U_вых2 = 305,3 мВ.

Полагая, что существенна только погрешность квантования цифрового вольтметра (значение которой по абсолютной величине не превышает половины ступени квантования), представить результат измерения коэффициента усиления в виде двух доверительных интервалов для доверительных вероятностей, равных 1 и 0,95.

Решение:

K_U = 3;

P = 1

D_п = ½¶K_U/ ¶U_вх1½D_Uвх1п + ½¶K_U/ ¶U_вх2½D_Uвх2п +

+½¶K_U/ ¶U_вых1½D_Uвых1п + ½¶K_U/ ¶U_вых2½D_Uвых2п;

D_Uвх1п = D_Uвх2п = D_Uвых1п = D_Uвых1п = 0,05 мВ;

¶K_U/ ¶U_вх1 = – K_U / (U_вх1 – U_вх2) = – 0,03000 мВ ^-1;

¶K_U/ ¶U_вх2 = K_U / (U_вх1 – U_вх2) = 0,03000 мВ ^-1;

¶K_U/ ¶U_вых1 = K_U / (U_вых1 – U_вых2) = 0,01000 мВ ^-1;

¶K_U/ ¶U_вых2 = – K_U/ (U_вых1 – U_вых2) = – 0,01000 мВ ^-1;

D_п = 0,0040.

Ответ 1: (3,0000 ± 0,0040); Р = 1.

P = 0,95

D _гр(Р) = K_P× {[(¶K_U/ ¶U_вх1) D_Uвх1п] ² +

+ [(¶K_U/ ¶U_вх2) D_Uвх2п] ² +

+ [(¶K_U/¶U_вых1) D_Uвых1п] ²+

+[(¶K_U/¶U_вых2) D_Uвых2п] ²} ^0,5;

D _гр(Р) » 0,0025;

Ответ 2: (3,0000 ± 0,0025); Р = 0,95.

Задачи для самостоятельного решения

4.5. Милливольтметром класса точности 0,5 с диапазоном измерений (0…150) мВ, со шкалой, содержащей 150 делений, в нормальных условиях измеряется u = U₁ – U₂ — изменение напряжения на выходе источника, выходное сопротивление которого пренебрежимо мало. С округлением до 1 дел. по шкале сделаны отсчеты: a₁ = 50 дел., a₂ = 40 дел.

Представьте результат измерения с указанием погрешности для доверительной вероятности, равной 0,95.

4.6. Определите значение взаимной индуктивности двух катушек индуктивности M, границы доверительного интервала допускаемой погрешности измерения для доверительной вероятности, равной 1, и представьте результат измерения в установленном виде. Измерены значения суммарной индуктивности катушек при согласном и встречном их включении: L_с = 0,365 Гн; L_в = 0,305 Гн. Взаимная индуктивность вычисляется по формуле M = (L_с-L_в) / 4. Предел допускаемой относительной погрешности измерения индуктивности равен 1,0 %.

4.7. Определите значение круговой частоты w синусоидального напряжения, границы доверительного интервала допускаемой погрешности измерения w для доверительной вероятности, равной 1, и представьте результат измерения в установленном виде. Измерение выполняется при помощи электронно-лучевого осциллографа. Длина отрезка, соответствующего периоду напряжения, L = 40 мм; толщина луча равна b = 1мм; коэффициент развертки k_р = 20 мс/см; предел допускаемой относительной погрешности k_р равен 5,0 %. Предельное значение визуальной погрешности D_в.п = 0,4 ×b.

4.8. Определите значение коэффициента усиления K_U усилителя напряжения, границы доверительного интервала допускаемой погрешности измерения K_U для доверительной вероятности, равной 0,99, и представьте результат измерения в установленном виде. Формула для расчета коэффициента усиления: K_U = (U_вых1-U_вых0) / U_вх1.