Пусть требуется найти функцию
, удовлетворяющую для
t>0 уравнению
в области D и дополнительным начальным и граничным условиям, где
дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка.Попытаемся с помощью суперпозиции всех линейно независимых частных решений описанного типа (т. е. удовлетворяющих граничному условию) удовлетворить и начальным условиям. Для этого будем искать нетривиальные частные решения уравнения (1.2.1), удовлетворяющие граничным условиям, в классе функций вида
(где 
непрерывны в 
, 
непрерывны в 
). Подставляя функцию в уравнение (1.2.1) и деля обе части уравнения на 
, получаем 
.Чтобы это равенство было тождественно (т.е. чтобы функция
удовлетворяла уравнению (1.2.1) при всех 
) необходимо и достаточно, чтобы обе дроби были равны одной и той же константе 
. Таким образом, должны выполняться тождественно 
, 
, причем функция
должна удовлетворять граничным условиям. Соответствующая краевая задача для уравнения (1.2.3) имеет нетривиальные решения не при всех значениях 
. Те значения , при которых она будет иметь нетривиальные решения, называются собственными значениями краевой задачи, а соответствующие им решения уравнения (1.2.3) – собственными функциями краевой задачи.Суть метода Фурье:
ищем решение уравнения (1.2.1), удовлетворяющее только граничным условиям, среди функций вида
. Для функции получаем краевую задачу; решаем краевую задачу для функции
. Пусть 
суть собственные функции этой задачи, а 
- отвечающие им собственные значения; для каждого собственного значения
находим решение уравнения (1.2.3); таким образом, частным решением уравнения (1.2.1), удовлетворяющим только граничному условию, являются функции вида
; возьмем сумму таких частных решений по всем собственным функциям
.Данная функция будет являться общим решением рассматриваемой задачи. Причем коэффициенты выбираются таким образом, чтобы эти суммы были решениями начальной задачи [2].1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
При решении задач математической физики часто приходят к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Уравнение
является однородным линейным уравнением второго порядка с коэффициентом при старшей производной равным единице, а
. Рассмотрим решение уравнения (1.3.1), оно может быть сведено к алгебраическим операциям и получено в элементарных функциях.В силу общих свойств линейного уравнения, нам достаточно найти два частных решения, образующих фундаментальную систему решений.
Покажем, что выражение
, где
– действительное число, будет удовлетворять нашему уравнению.Продифференцируем по x выражение (1.3.2):
.Подставляем полученные выражения в (1.3.1):
. Обозначим через
- это есть характеристический многочлен, соответствующий оператору L. Тогда (1.3.3) запишется в виде 
.Характеристический многочлен получается из оператора L[y], если производные различных порядков в этом уравнении заменить равными степенями величины
: 
на 
. Если (1.3.2) есть решение (1.3.1), то выражение (1.3.3) равно тождественно нулю, но 
, следовательно 
.Уравнение (1.3.4) – есть алгебраическое уравнение с неизвестным
, оно называется характеристическим уравнением. Если мы в качестве постоянной в выражение возьмем корень 
характеристического уравнения (1.3.4), то 
, т.е. 
будет решением дифференциального уравнения (1.3.1).Уравнение (1.3.4) – уравнение 2-ой степени, следовательно, имеет 2 корня. Если все корни различны, то каждый из них соответствует частному решению дифференциального уравнения (1.3.1).
Следовательно, общее решение уравнения (1.3.1) будет
,где
- произвольные постоянные, а 
- решения характеристического уравнения (1.3.4) [6]. Если корни характеристического уравнения комплексные, 
, то они будут сопряженными, т.к. коэффициенты уравнения действительные числа. В таком случае, общим решением уравнения (1.3.5) будет 
.Если корни характеристического уравнения чисто мнимые, т.е.
. Общим решением уравнения (1.3.1) будет 
. Если предположить, что характеристическое уравнение имеет равные корни
, то одно частное решение будет иметь вид