.
Второе частное решение будет
.
Тогда общее решение уравнения (1.3.1) можно представить в виде
.
Глава II Нахождение функции, описывающей собственные колебания мембраны
2.1 Основные определения
В этой главе использованы следующие обозначения
·
- частная производная функции 
по 
;·
- производная функция одной переменной.Мембраной называется плоская пластинка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Мы будем рассматривать поперечные колебания мембраны, в которых смещение перпендикулярно к плоскости мембраны. Отклонение точек мембраны от плоскости xOy будем обозначать через функцию
, которая зависит от координат точки (x, y) и от времени t. Вывод дифференциальных уравнений задач математической физики сопровождается целым рядом допущений как механических, так и геометрических. Так при выводе уравнения колебания прямоугольной мембраны мы пренебрегли квадратом частных производных 
. В результате получается следующее уравнение колебаний прямоугольной мембраны
.В случае рассмотрения мембраны круглой формы полезно перейти к полярным координатам. Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса
с центром в начале координат. Введем полярные координаты 
, 
. Уравнение границы круга будет при этом 
. Отклонение точек мембраны является теперь функцией полярных координат 
и 
и времени t: 
.Выражение для оператора
в полярных координатах имеет вид 
,Тогда уравнение колебаний мембраны (2.1.1) перепишется в виде
. В данной главе нам еще понадобится определение ортогональных функций в следующем виде:
Система функций
называется ортогональной на интервале 
, если интеграл от произведения любых двух различных функций системы равен нолю: 
( 
). Это условие ортогональности отличается от обычного тем, что под интегралом содержится множитель , в таких случаях говорят об ортогональности с весом [1].2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны
Процесс колебания плоской однородной мембраны описывается уравнением
Пусть в плоскости (x, y) расположена прямоугольная мембрана со сторонами b1 и b2, закрепленная по краям. Ее колебание вызывается с помощью начального отклонения и начальной скорости.
Для нахождения функции
, характеризующей отклонение мембраны от положения равновесия (прогиб), нужно решить уравнение колебаний при заданных начальных условиях 
и граничных условиях
.Краткое решение задачи (2.2.1) – (2.2.3) приведено в книге [8], где были получены следующие результаты.
Функция
имеет вид 
,где
- собственные функции, соответствующие собственным значениям 
(полученным в результате применения метода Фурье) и определяющиеся формулой 
.А коэффициенты
и 
равны: 
, 
.Найдем решение задачи при других граничных условиях.
Итак, для нахождения функции
, характеризующей прогиб мембраны мы должны решить уравнение колебаний мембраны (2.2.1) при заданных начальных условиях и граничных условиях
. Будем искать решение методом Фурье. Пусть функция 
и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции 
в уравнение (2.2.1) и, поделив обе части уравнения на 
(при этом мы не теряем решений, т. к. 
), получаем 
.Чтобы функция (2.2.6) была решением уравнения (2.2.1), равенство (2.2.7) должно удовлетворяться тождественно, т.е. для любых значений переменных
, 
, 
. Правая часть равенства (2.2.7) является функцией только переменных (x,y), а левая – только t. Фиксируя, например, некоторые значения x и y и меняя t (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно 
. 
, где
- постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке. Из соотношения (2.2.8) получаем однородное дифференциальное уравнения второго порядка для функции 
: 
,