Таким образом, сама задача о собственных значениях состоит в решении однородного уравнения в частных производных при заданных граничных условиях. Снова применим метод разделения переменных. Пусть
и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции 
в уравнение 
и, поделив обе части уравнения на 
, приведем его к виду 
.Правая часть равенства (2.2.10) является функцией только переменной y, а левая – только x. Фиксируя, например, некоторые значения x и меняя
(или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно 
. 
Тогда из данного соотношения получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка:
1.
2.
где
и 
- постоянные разделения переменных, причем 
. При этом граничные условия для 
и 
вытекают из соответствующих условий для функции 
. 
, 
, 
, 
.Получаем следующие одномерные задачи на собственные значения:
(2.2.11)
(2.2.12)
- линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Таким образом, общее решение данного уравнения зависит от параметра . Рассмотрим отдельно случаи, когда параметра 
отрицателен, равен нулю, положителен.1) При
задача не имеет нетривиальных решений. Общее решение уравнения 
имеет вид 
,т. к. характеристическое уравнение
имеет корни 
.Учитывая граничные условия, получаем:
т.к.
- действительно и положительно, то 
.2) При
нетривиальных решений тоже не существует. 
3) При
общее решение уравнения 
имеет вид 
.Учитывая граничные условия, получаем:
, т.к. мы ищем нетривиальные решения, 
, следовательно 
Итак, только при значениях равных
, существуют нетривиальные решения задачи (2.2.11) и имеют вид 
.Они определяются с точностью до произвольного сомножителя, который мы положили равным единице.
Аналогично получаем решение задачи (2.2.12):
Собственным значениям
, таким образом, соответствуют собственные функции 
,где
- некоторый постоянный множитель. Выберем его так, чтобы норма функций 
с весом единица была равна единице 
.Вычислим отдельно интегралы в равенстве:
Тогда,
.Число собственных функций, принадлежащих
зависит от количества целочисленных решений n и m уравнения 
.Собственным значениям
соответствуют решения уравнения 
: 
,где
и 
- произвольные константы.Возвращаясь к начальной задаче для уравнения
с дополнительными условиями (2.2.4) – (2.2.5), получаем, что частные решения будут иметь вид 
.Тогда общее решение запишется в виде
,где
определяется формулой (2.2.13), а коэффициенты 
и 
равны: 
, 
.В задачах, рассмотренных в этом параграфе, необходимо было найти функцию, описывающую отклонение мембраны от положения равновесия при одинаковых начальных условиях, но при различных граничных условиях. В результате были получены две разные функции. Таким образом, можно сказать, что прогиб мембраны напрямую зависит от граничных условий.
2.3 Собственные колебания круглой мембраны
Сравним теперь результаты решения двух задач о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны, также при заданных различных граничных условиях, одинаковых начальных условиях, но уже для круглой мембраны.
Уравнение колебаний круглой мембраны в полярных координатах имеет вид 
.
следующую краевую задачу: 
