Будем искать решение этого уравнения при заданных начальных условиях
и граничных условиях 
.Применим метод разделения переменных. Пусть
.Подставляем полученное выражение для функции
в уравнение (2.3.1), получаем: 
. Так как нужно найти нетривиальное решение задачи, то 
, полученное равенство можно поделить на 
. Тогда 
.Из соотношения (2.3.4) получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка для функции
, решением, которого будет функция (см. 2.2) 
,и следующую задачу на собственные значения для функции
: 
К задаче (2.3.6) снова применим метод Фурье для нахождения функции
. Пусть 
, подставляем в уравнение для функции 
. 
Поделим данное равенство на
: 
Так как левая часть соотношения (
) функция только переменной r, а правая ( 
) - только переменной 
, то равенство должно сохранять постоянное значение, пусть оно равно 
. При данном предположении получаем:1) однородное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения функции
: 
Нетривиальные периодические решения для
существуют лишь при 
и имеют вид (см. 2.2): 
.2) уравнение для определения функции
Из граничных условий для функции 
получаем граничные условия для функции : 
Таким образом, требуется решить задачу о собственных значениях.
Введем новую переменную
Подставляем выражение
в уравнение для определения функции 
и получаем, что данное уравнение есть уравнение цилиндрической функции n-го порядка. 
Решение предыдущей задачи сводится к решению цилиндрического уравнения (2.3.9) с дополнительными граничными условиями
,общее решение, которого имеет вид
,где
- функция Бесселя первого рода, 
- функция Бесселя второго рода или функция Неймана (смотри приложение).Из условия
следует, что 
, т. к. при 
.Из условия
имеем 
, где 
.Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней
, т.е. уравнение (2.3.7) имеет бесчисленное множество собственных значений 
, которым соответствуют собственные функции 
краевой задачи для нахождения функции
. Всякое нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи дается формулой (2.3.10).Найдем норму собственных функций и получим условие ортогональности системы собственных функций
с весом r: 
Для этого рассмотрим функции
Они удовлетворяют уравнениям
причем
, а 
не удовлетворяет этому граничному условию. Вычтем из первого уравнения второе, предварительно умножив их, соответственно, на 
и 
. 
Переходя к пределу при
, получаем неопределенность 
. Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя 
,получаем выражение для квадрата нормы:
т.к. 
, то 
.Итак, получаем:
1. Согласно (2.3.11) при
, собственные функции , принадлежащие различным собственным значениям 
, ортогональны с весом r .