Будем искать решение этого уравнения при заданных начальных условиях
и граничных условиях
.Применим метод разделения переменных. Пусть
.Подставляем полученное выражение для функции
в уравнение (2.3.1), получаем:
. Так как нужно найти нетривиальное решение задачи, то
, полученное равенство можно поделить на
. Тогда
.Из соотношения (2.3.4) получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка для функции
, решением, которого будет функция (см. 2.2)
,и следующую задачу на собственные значения для функции
: 
К задаче (2.3.6) снова применим метод Фурье для нахождения функции
. Пусть
, подставляем в уравнение для функции
. 
Поделим данное равенство на
: 
Так как левая часть соотношения (
) функция только переменной r, а правая (
) - только переменной
, то равенство должно сохранять постоянное значение, пусть оно равно
. При данном предположении получаем:1) однородное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения функции
: 
Нетривиальные периодические решения для
существуют лишь при
и имеют вид (см. 2.2):
.2) уравнение для определения функции
Из граничных условий для функции
получаем граничные условия для функции
: 
Таким образом, требуется решить задачу о собственных значениях.
Введем новую переменную

Подставляем выражение
в уравнение для определения функции
и получаем, что данное уравнение есть уравнение цилиндрической функции n-го порядка.

Решение предыдущей задачи сводится к решению цилиндрического уравнения (2.3.9) с дополнительными граничными условиями
,общее решение, которого имеет вид
,где
- функция Бесселя первого рода,
- функция Бесселя второго рода или функция Неймана (смотри приложение).Из условия
следует, что
, т. к. при
.Из условия
имеем
, где
.Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней
, т.е. уравнение (2.3.7) имеет бесчисленное множество собственных значений
, которым соответствуют собственные функции 
краевой задачи для нахождения функции
. Всякое нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи дается формулой (2.3.10).Найдем норму собственных функций и получим условие ортогональности системы собственных функций
с весом r: 
Для этого рассмотрим функции

Они удовлетворяют уравнениям

причем
, а
не удовлетворяет этому граничному условию. Вычтем из первого уравнения второе, предварительно умножив их, соответственно, на
и
. 
Переходя к пределу при
, получаем неопределенность
. Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя
,получаем выражение для квадрата нормы:
т.к.
, то
.Итак, получаем:
1. Согласно (2.3.11) при
, собственные функции
, принадлежащие различным собственным значениям
, ортогональны с весом r .