Собственные колебания пластин (стр. 5 из 6)

Будем искать решение этого уравнения при заданных начальных условиях

и граничных условиях

Применим метод разделения переменных. Пусть

Подставляем полученное выражение для функции

в уравнение (2.3.1), получаем:

Так как нужно найти нетривиальное решение задачи, то

, полученное равенство можно поделить на

. Тогда

Из соотношения (2.3.4) получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка для функции

решением, которого будет функция (см. 2.2)

и следующую задачу на собственные значения для функции

К задаче (2.3.6) снова применим метод Фурье для нахождения функции

. Пусть

, подставляем в уравнение для функции

Поделим данное равенство на

Так как левая часть соотношения (

) функция только переменной r, а правая (

) - только переменной

, то равенство должно сохранять постоянное значение, пусть оно равно

. При данном предположении получаем:

1) однородное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения функции

Нетривиальные периодические решения для

существуют лишь при

и имеют вид (см. 2.2):

2) уравнение для определения функции

Из граничных условий для функции

получаем граничные условия для функции

Таким образом, требуется решить задачу о собственных значениях.

Введем новую переменную

Подставляем выражение

в уравнение для определения функции

и получаем, что данное уравнение есть уравнение цилиндрической функции n-го порядка.

Решение предыдущей задачи сводится к решению цилиндрического уравнения (2.3.9) с дополнительными граничными условиями

общее решение, которого имеет вид

где

- функция Бесселя первого рода,

- функция Бесселя второго рода или функция Неймана (смотри приложение).

Из условия

следует, что

, т. к. при

Из условия

имеем

, где

Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней

, т.е. уравнение (2.3.7) имеет бесчисленное множество собственных значений

которым соответствуют собственные функции

краевой задачи для нахождения функции

. Всякое нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи дается формулой (2.3.10).

Найдем норму собственных функций и получим условие ортогональности системы собственных функций

с весом r:

Для этого рассмотрим функции

Они удовлетворяют уравнениям

причем

, а

не удовлетворяет этому граничному условию. Вычтем из первого уравнения второе, предварительно умножив их, соответственно, на

Переходя к пределу при

, получаем неопределенность

. Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя

получаем выражение для квадрата нормы:

т.к.

, то

Итак, получаем:

1. Согласно (2.3.11) при

, собственные функции

, принадлежащие различным собственным значениям

, ортогональны с весом r .