Собственные колебания пластин (стр. 1 из 6)

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

Собственные колебания пластин

Выполнила:

студентка V курса математического факультета

Чураева Анна Сергеевна

Научный руководитель: старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ С.А. Фалелеева

Рецензент: старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ Л.В. Ончукова

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой М.В. Крутихина

«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина

Киров

2005

Содержание

Введение........................................................................................................... 3

Глава I Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений.................................................................................................... 4

1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия..................... 4

1.2 Метод разделения переменных или метод Фурье................................... 6

1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами......................................................................................... 8

Глава II Нахождение функций, описывающих собственные колебания мембран 11

2.1 Основные определения............................................................................ 11

2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны.............................. 12

2.3 Собственные колебания круглой мембраны.......................................... 19

Заключение.................................................................................................... 28

Библиографический список........................................................................... 29

Приложение................................................................................................... 30

Введение

Математическая физика ставит своей задачей возможно более точное изучение явлений природы. С этой целью она использует аппарат математики. Объектом изучения математической физики могут служить только те явления природы, которые поддаются измерению. Например, механическое движение, звук, теплота, свет и т. д.

Цели работы:

1. Изучить математическую литературу по данной теме.

2. Освоить основные методы решения задач математической физики и применить их к решению задач.

Задачи работы:

1. Решить двумерное уравнение колебаний мембраны при дополнительных условиях для прямоугольной и круглой мембраны.

2. Сравнить полученные результаты для обоих случаев с аналогичными задачами, решенными для других дополнительных условий.

Методы работы:

· Изучение специальной литературы;

· Решение задач.

Глава I Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т. д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Дифференциальным уравнением с частными производными называется равенство, содержащее неизвестную функцию от нескольких переменных, независимые переменные и частные производные неизвестной функции по независимым переменным. Решением уравнения с частными производными называется функция, обращающая это уравнение в тождество [4].

1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия

При математическом описании физического процесса нужно, прежде всего, поставить задачу, т.е. сформировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Дифференциальные уравнения с частными производными имеют, вообще говоря, бесконечное множество решений. Поэтому в том случае, когда физическая задача приводится к уравнению с частными производными, для однозначной характеристики процесса необходимо задать некоторые дополнительные условия.

В случае обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка частное решение определяется начальными условиями, например, заданием значений функции и ее первой производной при «начальном» значении аргумента. Для уравнения с частными производными возможны различные формы дополнительных условий.

Рассмотрим их для задачи о поперечных колебаниях струны (под струной понимаем тонкую упругую нить). Каждую точку струны длины l можно охарактеризовать значением ее абсциссы x. Для определения положения струны в момент времени t достаточно задать компоненты вектора смещения точки x в момент t. Тогда будет задавать отклонение струны от оси абсцисс.

Если концы струны закреплены, то должны выполняться граничные условия

, .

Так как процесс колебания струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия: