Транспорт наносов захваченными топографическими волнами (стр. 4 из 6)

=z/ , (13а)

(13б)

Амплитудная функция А

является медленно меняющейся функцией на масштабах волны.Умножим обе части уравнения (3а) на

, уравнения (3б) на и сложим эти уравнения, после осреднения по периоду волны в линейном приближении получим уравнение для огибающей А

:

(14)

где

+ ,

+ -(15)

компонеты групповой скорости вдоль осей X и Y соответственно.

здесь

,

В стационарном случае уравнение (14) преобразуется к виду:

, (16)

где

-координата вдоль луча, -групповая скорость.

Пространственные производные функции

следующим образом выражаются через градиент

(17)

Осредним исходные уравнения движения (3) по периоду волны , получим с точностью до членов , квадратичных по амплитуде волны уравнения для средних полей , индуцированных волной в слабонелинейном приближении (черта сверху означает осреднение по периоду волны):

=

(18a)

=

(18б)

(18в)

) (18г)

(18д)

Волновые напряжения

, , выражаются с помощью ( 6,7) через :

= -

= + (19)

=

=

Из анализа системы (18) с учётом (19) следует, что индуцируемые волной средние поля плотности

, давления и скорости течения следует искать в виде:

, , (20) , ,

Система уравнений для функций

следует из (18) после подстановки (19) и (20) при использовании соотношений (16),(17). Данная система сводится к неоднородной системе линейных дифференциальных уравнений , которую запишем в матричном виде:

(21)

где А- матрица размрностью 8

8 , элементы которой являются постоянными (не зависящими от z величинами):

Все остальные элементы матрицы А равны 0. Столбцы

и имеют вид:

где

Система дифференциальных уравнений (21) решается аналитически при следующих граничных условиях:

и при . Окончательно индуцируемые волной поля скорости течения и плотности определяются по формулам:

, , ,

(22)

Амплитудный множитель

найдём из условия нормировки, которое состоит в следующем. Пусть максимальная амплитуда волновой орбитальной скорости.

Тогда

,где . (23)

Пусть

(24) -осреднённое за период волны тангенциальное напряжение у дна. Следуя [15,16 ] введём коеффициент донного трения . При заданном коэффициент вертикального турбулентного обмена для данной волны находится из (24).