Трехмерное напряжение и деформированное состояние (стр. 4 из 4)

,…, — углы сдвига в соответствующих координатных плоскостях.

10. Связь между компонентами тензора деформаций и перемещениями

Рассмотрим малый элемент, который в процессе деформации изменил свою конфигурацию. На рисунке показана одна из граней, совпадающая с плоскостью осей X и Y:

аналогично

Угол сдвига — это угол, на который изменится первоначально прямой угол, т.е.

Аналогично определяется и другие компоненты тензора деформаций. Итак! Соотношения Коши:

; ; ;

; ;

Шесть компонент тензора деформаций выражаются через три компоненты вектора перемещения. Отсюда следует, что компоненты тензора деформаций не являются независимыми. И в самом деле, они связаны соотношениями называемыми уравнениями совместности деформаций.

Условиям совместности деформаций можно придать следующий смысл. Разрежем тело на малые элементы, деформируем каждый из элементов в отдельности и соберём из деформированных элементов тело. Тогда, если деформации правильные, т.е. удовлетворяющие уравнениям совместности, то собранное тело не будет иметь разрывов и пустот.

11. Обобщённый закон Гука

Будем основываться на известном нам законе Гука для одноосного состояния

,

и принципе независимости действия сил.

Обратим внимание на такой факт, что с точностью до малых высшего порядка, нормальные напряжения не вызывают сдвигов, а в свою очередь касательные напряжения не вызывают удлинений.

Рассмотрим малый элемент (рис.50).

Воспользуемся принципом независимости действия сил.

1) Пусть действуют только напряжения

.

, тогда ;

2)

; ; ;

3)

; ; ;

При совместном действии всех трёх напряжений

Аналогично определяется и деформации

и .

В результате получаем уравнения называемые обобщённым законом Гука.

;

;

;

К таким уравнениям нужно добавить ещё три соотношения

; ;

Три дифференциальных уравнения равновесия, шесть соотношений Коши и шесть соотношений обобщённого закона Гука составляют систему уравнений теории упругости, в которых неизвестными будут шесть компонент тензора напряжений, шесть компонент тензора деформаций и три компоненты перемещения.