Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла (стр. 3 из 4)
Знак этой производной ( поскольку 
, 
) зависит только от знака выражения 
, это выражение > 0 , когда 
(то есть падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную ) и <0 , когда 
(из более оптически плотной в менее оптически плотную ) , следовательно в первом случае 
монотонно возрастает, а во втором , убывает . Но в случае 
, следовательно по модулю это выражение будет возрастать , в случае 
оно также будет по модулю возрастать . Таким образом , 
, как квадрат этого выражения , в обоих случаях монотонно возрастает от 
при 
до 1 при 
.или 
. 
Знак этой производной ,( поскольку
,есть >0 при
и <0 при .Знак функции
меняется следующим образом :при
если 
невелико 
>0 , но эта функция проходит через нуль. Поскольку числитель , при рассматриваемых пределах изменения в 0 обращаться не может[2][к2] это происходит тогда , когда знаменатель обращается в бесконечность т.е.: 
Это есть угол Брюстера (
) , при котором 
обращается в 0 , то есть отраженная волна отсутствует . Для случая падения из воздуха в стекло 
, для обратного случая (из стекла в воздух) 
При переходе через этот угол 
меняет знак на минус , следовательно как квадрат этой функции сначала убывает (до нуля) , а затем возрастает (до 1).При
для небольших <0 , при переходе через знак будет меняться на плюс. Переход через действительно будет иметь место , хотя изменяется до 
,а не до 
, поскольку 
. Таким образом снова монотонно убывает до 0 , а затем монотонно возрастает до 1. Итак , в обоих случаях сначала монотонно убывает от 
при 
до 0 при 
, а затем монотонно возрастает до 1 при 
или 
.
Полученные зависимости иллюстрируются следующими графиками :
на первом показана зависимость
(сплошная линия) и 
(пунктирная линия) от для случая падения волны из воздуха в стекло (n=1.51) 
на втором -для случая падения волны из стекла в воздух
В. Преломление
Для анализа поведения
и 
воспользуемся следующим соображением - падающая волна на границе раздела разделяется на две - прошедшую и отраженную , причем энергия падающей волны (энергия , переносимая волной через границу раздела сред) уходит в энергию отраженной и преломленной волн (поскольку никаких других источников нет). Поэтому , поскольку коэффициент 
показывает отношение энергии прошедшей волны к энергии падающей , 
- отношение энергии отраженной волны к энергии падающей в p-волне , а 
и 
- аналогичные отношения в s-волне , должны выполнятся соотношения :
и 
Действительно , проверим это :
рассмотрим отдельно числитель:
таким образом действительно , аналогично 
Таким образом , используя предыдущее исследование
, 
можно сказать , что : 
Для случая падения из воздуха в стекло (а можно заметить , что если среды поменять местами , то это значение не изменится )
Между этими точками
и 
ведут себя противоположно и . Окончательно , монотонно возрастает от 
( 
)до 
, а затем монотонно убывает до 0 ( при 
) , монотонно убывает от до 0 (при тех же пределах изменения 
). Причем как для случая падения из менее оптически плотной среды , так и из более оптически плотной. Ниже на рисунке представлены графически зависимости для обоих этих случаев.