Теорія електропровідності напівпровідників та твердих тіл (стр. 2 из 4)

Прямокутні потенціальні ями розділені потенційними бар’єрами однакової товщини по всій глибині потенційної ями.

Довжина електронів являє собою хвильовий характер. Його можливо представити як росположення груп хвиль з частотами в інтервалі від

до . Максимальна амплітуда цієї групи хвиль співпадає з центром електрону. Це так званий хвильовий пакет. Хвильовий пакет розповсюджується з груповою швидкістю , яка для вільного електрона є миттєвою швидкістю, а для електрона, який рухається періодичному полі кристала, - його середньою швидкістю.

Групова швидкість хвилі визначається, як

, (1)

де

- хвильовий вектор ( - довжина хвилі).

Енергія електронної хвилі (електрона)

пов’язана з циклічною частотою формулою

. (2)

Підставивши

із формули (2) у вираз (1), отримаємо для групової швидкості електронної хвилі (швидкості електрона) вираз

(3)

Енергія вільного електрона

пов'язана з хвильовим вектором рівністю

. (4)

Графік функції

для вільного електрона, який являє собою параболу з вершиною у точці , зображено на малюнку 6 пунктирною лінією.

Для того щоб скласти зображення про характер залежності

для електрона в кристалі розглянемо його рух в нашому «кристалі». Нехай в ньому е тільки один електрон, який спроможний рухатися по кристалу, і нехай цей електрон починає рухатись під дією сил зовнішнього електричного поля з стану з і в напрямку, перпендикулярному стінкам потенціальних ям. При цьому електрична хвиля буде частково відбиватися від стінок кожної потенційної ями. Відбиті хвилі відносять частину енергії прямої хвилі, послаблює її. Поки для електронної довжина хвилі її і модуль хвильового вектора не співпадає умовам брегового віддзеркалення

(5)

відбиті хвилі будуть мати різноманітні фази і накладаючись одна на одну.

Внаслідок чого цього пряма хвиля проходить через кристал, майже не відбиваючись, тобто електрон рухається в кристалі, майже як вільний електрон. Графік функції

при цьому дуже мало відрізняються від параболи.

При подальшому збільшенні модуля хвильового вектора

(зменшенні довжини вектора ) енергія відбитих хвиль зростає, а енергія прямої хвилі в залежності від зменшується при порівнянні з темпом росту енергії вільного електрона. Чим менш відрізняється від величини , тим все більш крива відрізняється від параболи. Ця крива зображена на малюнку 6 суцільною лінією. Коли хвильовий вектор стає рівним , всі відбиті хвилі опиняються в фазі і інтенсивність відбитої хвилі дорівнює інтенсивності прямої.

Відхиленні хвилі, внаслідок вторинних віддзеркалень, перетворюються в пряму також швидко, як і пряма – у віддзеркалені: у кристалі виникає стояча електрона хвиля. Стояча хвиля описує такий стан електрона, при якому він однаково вірогідно може рухатись як в прямому, так і в зворотному направлені.

Подальше збільшення хвильового вектору електрона

можлива тільки при умові, що енергія його зміниться стрибком на величину . Після цього модуль хвильового вектору може знову збільшитись від до , ф характер зміни енергії електрону в залежності від хвильового вектору буде таким же, як описаний раніше. Коли хвильовий вектор стане рівним виникає стояча електрона хвиля і знову функція терпить розрив. Далі це повторюється при значеннях і тому подібне.

Напрям хвильового вектору співпадає з напрямом швидкості електронної хвилі, тому зміна напряму розповсюдження хвилі на протилежне співпадає зміні знаку хвильового вектору на зворотній. З урахуванням цього можна записати умову брегового віддзеркалення електронних хвиль (умова утворення стоячої хвилі) так:

(7)

Станом електрону, характеризуючим значеннями хвильового вектору від

до , співпадає деякий інтервал енергій від до . Цей інтервал енергій складає першу дозволену енергетичну зону кристала. Значенням , які лежать в наступному інтервалі від до , відповідає третя дозволена енергетична зона і тому подібне. Дозволені енергетичні зони відділені один від одного інтервалами енергій, які електрон, який рухається в кристалі в заданому напрямі, не може мати. Ці інтервали енергій називаються забороненими зонами.

Ширина енергетичної зони не залежить від розмірів кристалу, вона залежить від його будови, так як границі зони задаються умовами (7). Для визначеної зони граничні значення хвильового вектору

, а отже і енергії, залежать тільки від відстані між сусідніми атомами кристала в даному направленні.

У межах дозволенної зони після зміни хвильового вектора

. Але хвильовий вектор змінюється усередині зони не неперервна, а приймає ряд дискретних значень. При розповсюдженні електронної хвилі (рух електрона) в кристалі, вона випробовує віддзеркалення не тільки від стінок потенційних ям атомів, але і від границь кристалів. Але спільна довжина «ланки» атомів , то умови утворення стоячих електронних хвиль в результаті віддзеркалення їх від границь кристалу запишуться так:

(8)

Стан електрону, який відповідає умовам (8), є стаціонарним. Змінити цей стан електрон в зоні може стрибком (

- ціле число). Кількість таких стаціонарних енергетичних станів визначається довжиною ланки атомів . Максимальна довжина хвилі, при якій утворюється стояча хвиля, дорівнює (в довжині «ланки» укладається половина довжини хвилі). Мінімальна довжина хвилі обмежена міжатомним простором і дорівнює . Відповідно, число стаціонарних станів електрону в енергетичній зоні дорівнює . Але дорівнює числу атомів в «ланці» . Таким чином, число стаціонарних станів електрону в розмішеній енергетичній зоні дорівнює числу атомів у відповідній ланки атомів. Ці стани є станами поступального руху електрона. Якщо урахувати , що при будь якому поступальному русі відповідають два значення спіна електрону, то в енергетичній зоні можна «помістити» електронів.